Cho đường thẳng \(\Delta :\dfrac{{x - 2}}{2} = \dfrac{{y - 1}}{2} = \dfrac{{z + 3}}{{ - 3}}\) và hai điểm \(A(1; - 1\); \(B( - 2; - 1;1)\). Gọi C, D là hai điểm di động trên đường thẳng \(\Delta \) sao cho tâm mặt cầu tiếp xúc với các mặt của tứ diện ABCD luôn nằm trên tia Ox. Tính độ dài đoạn thẳng CD.

Cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2} = 9\) và mặt phẳng \(\left( Q \right):x - y + z - 1 = 0\). Hai điểm \(M\) và \(N\) lần lượt di động trên mặt cầu \(\left( S \right)\) và mặt phẳng \(\left( Q \right)\). Xác định vector \(\overrightarrow {MN} \) khi \(MN\) đạt giá trị lớn nhất và vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right)\).

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\), với \(a,b,c\) đều là các số thực dương. Biết mặt cầu \(\left( S \right)\) cắt 3 mặt phẳng tọa độ \(\left( {Oxy} \right),\left( {Oxz} \right),\left( {Oyz} \right)\) theo các giao tuyến là các đường tròn có bán kính bằng \(\sqrt {13} \) và mặt cầu \(\left( S \right)\) đi qua \(M\left( {2;0;1} \right)\). Tính \(a + b + c\)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $I(1; - 2;3)$. Phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oy là:   

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với $\left( S \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z - 2 = 0$ và song song với $\left( {\alpha {\rm{\;}}} \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 4x + 3y - 12z + 10 = 0$.

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y+4z-1=0\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x+y-z-m=0.\) Tìm tất cả m để \(\left( P \right)\) cắt \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính lớn nhất.

Trong không gian tọa độ Oxyz, mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-4y-20=0\) và mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):\,\,x+2y-2z+7=0\) cắt nhau theo một đường tròn có chu vi bằng:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2x-4y-6z+m-3=0\). Tìm số thực m để \(\left( \beta  \right):\,\,2x-y+2z-8=0\) cắt \(\left( S \right)\) theo một đường tròn có chu vi bằng \(8\pi \).