Câu hỏi:
2 năm trước
Cho các số thực dương \(x\), \(y\), \(z\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{{xy + 2yz + zx}}\) là
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
Ta có \(2yz \le {y^2} + {z^2}\)
Dấu “=” xảy ra khi \(y = z\).
Suy ra \(P \ge \dfrac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{{xy + xz + {y^2} + {z^2}}} = Q\)
Khi \(y = z\), ta có \(Q = \dfrac{{{x^2} + 2{y^2}}}{{2xy + 2{y^2}}} = \dfrac{{{{\left( {\dfrac{x}{y}} \right)}^2} + 2}}{{{{\left( {\dfrac{x}{y}} \right)}^2} + 2}}\).
\( \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{x}{y}} \right)^2} - 2P\left( {\dfrac{x}{y}} \right) + 2 - 2P = 0\) \(\left( * \right)\) (do \(P > 0\))
Để tồn tại \(\dfrac{x}{y}\) thì \(\Delta ' = {P^2} + 2P - 2 \ge 0 \Rightarrow P \ge \sqrt 3 - 1\).
Vậy \({P_{\min }} = \sqrt 3 - 1\) khi \(\dfrac{x}{y} = \sqrt 3 - 1\) và \(y = z\).
Hướng dẫn giải:
- Sử dụng phương pháp chọn điểm rơi cho \(y = z\) suy ra biểu thức \(P\) mới.
- Biến đổi \(P\) về ẩn \(\dfrac{x}{y}\) và tìm \(\min P\) bằng cách sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai.
Câu hỏi khác
- Bài tập bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn toán 10 có lời giải
- Bài tập bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn toán 10 có lời giải
- Bài tập bất đẳng thức toán 10 có lời giải
- Bài tập dấu của nhị thức bậc nhất toán 10 có lời giải
- Bài tập đại cương về bất phương trình toán 10 có lời giải
