Có bao nhiêu giá trị của \({x_0}\) để hàm số \(y = 32{x^2}\left( {1 - {x^2}} \right){\left( {2{x^2} - 1} \right)^2}\) đạt giá trị lớn nhất trên \(\left( { - 1;1} \right)\) tại \(x = {x_0}\)?

Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l}a = {x^2}\\b = 1 - {x^2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 1\\a - b = 2{x^2} - 1\end{array} \right..\)

Khi đó: \(y = 32{x^2}\left( {1 - {x^2}} \right){\left( {2{x^2} - 1} \right)^2} = 32ab{\left( {a - b} \right)^2} = 32ab\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - 4ab} \right]\)

               \( = 32ab\left( {1 - 4ab} \right) = 32ab - 128{a^2}{b^2} =  - {\left( {8\sqrt 2 ab - \sqrt 2 } \right)^2} + 2 \le 2\) với mọi x

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow 8\sqrt 2 ab = \sqrt 2  \Leftrightarrow ab = \dfrac{1}{8} \Leftrightarrow {x^2}\left( {1 - {x^2}} \right) = \dfrac{1}{8}\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - {x^4} = \dfrac{1}{8} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = \dfrac{{2 + \sqrt 2 }}{4}\\{x^2} = \dfrac{{2 - \sqrt 2 }}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \sqrt {\dfrac{{2 + \sqrt 2 }}{4}}  \in \left( { - 1;1} \right)\\x =  - \sqrt {\dfrac{{2 + \sqrt 2 }}{4}}  \in \left( { - 1;1} \right)\\x = \sqrt {\dfrac{{2 - \sqrt 2 }}{4}}  \in \left( { - 1;1} \right)\\x =  - \sqrt {\dfrac{{2 - \sqrt 2 }}{4}}  \in \left( { - 1;1} \right)\end{array} \right.\) 

Vậy có 4 giá trị của \({x_0}\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.