Xác định \(m\) để phương trình \(\left( {x - 1} \right)\left[ {{x^2} + 2\left( {m + 3} \right)x + 4m + 12} \right] = 0\) có ba nghiệm phân biệt lớn hơn \( - 1\).

\(\left( {x - 1} \right)\left[ {{x^2} + 2\left( {m + 3} \right)x + 4m + 12} \right] = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\{x^2} + 2\left( {m + 3} \right)x + 4m + 12 = 0{\rm{ }}\left( * \right)\end{array} \right.\).

Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt lớn hơn \( - 1\) khi và chỉ khi khi phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt ${x_1}$, ${x_2}$ lớn hơn \( - 1\) và khác \(1\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\{x_1} + 1 + {x_2} + 1 > 0\\\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) > 0\\1 + 2\left( {m + 3} \right) + 4m + 12 \ne 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 2m - 3 > 0\\ - 2m - 4 > 0\\2m + 7 > 0\\m \ne  - \dfrac{{19}}{6}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \dfrac{7}{2} < m <  - 3\\m \ne  - \dfrac{{19}}{6}\end{array} \right.\).