Tìm \(m\) để \(\left( {m + 1} \right){x^2} + mx + m < 0;\forall x \in \mathbb{R}\)?

Đặt \(f\left( x \right) = \left( {m + 1} \right){x^2} + mx + m\)

Xét \(m + 1 = 0 \Leftrightarrow m =  - 1\) khi đó \(f\left( x \right) =  - x - 1 < 0 \Leftrightarrow x >  - 1\) \( \Rightarrow \) không thỏa mãn yêu cầu bài toán

Xét \(m + 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  - 1\) khi đó \(f\left( x \right) < 0,\,\forall x \in \mathbb{R}\) \( \Leftrightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}m + 1 < 0\\\Delta  = {m^2} - 4m\left( {m + 1} \right) < 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}m + 1 < 0\\m\left( {3m + 4} \right) > 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m <  - 1\\\left[ \begin{array}{l}m <  - \dfrac{4}{3}\\m > 0\end{array} \right.\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow m <  - \dfrac{4}{3}\).