Cho bất phương trình: \({x^2} + 2\left| {x + m} \right| + 2mx + 3{m^2} - 3m + 1 < 0\). Để bất phương trình có nghiệm, các giá trị thích hợp của tham số \(m\) là

Phương trình đã cho tương đương: \({\left( {x + m} \right)^2} + 2\left| {x + m} \right| + 2{m^2} - 3m + 1 < 0\), \(\left( 1 \right)\).

Đặt \(t = \left| {x + m} \right|\), \(t \ge 0\).

Bất phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành: \({t^2} + 2t + 2{m^2} - 3m + 1 < 0\), \(\left( 2 \right)\).

Ta có: \(\Delta ' =  - 2{m^2} + 3m\).

Nếu \(\Delta ' \le 0\) thì vế trái \(\left( 2 \right)\) luôn lớn hơn hoặc bằng \(0\), nên loại trường hợp này.

Nếu \(\Delta ' > 0\)\( \Leftrightarrow 0 < m < \dfrac{3}{2}\), \(\left(  *  \right)\), thì tam thức bậc \(2\) ở vế trái có \(2\) nghiệm phân biệt \({t_1} =  - 1 - \sqrt { - 2{m^2} + 3m} \), \({t_2} =  - 1 + \sqrt { - 2{m^2} + 3m} \).

Khi đó bất phương trình \(\left( 2 \right)\)\( \Leftrightarrow {t_1} < t < {t_2}\), mà điều kiện \(t \ge 0\).

Vậy để bất phương trình có nghiệm thì \({t_2} > 0\)\( \Leftrightarrow  - 1 + \sqrt { - 2{m^2} + 3m}  > 0\)\( \Leftrightarrow \sqrt { - 2{m^2} + 3m}  > 1\)\( \Leftrightarrow  - 2{m^2} + 3m - 1 > 0\)\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} < m < 1\).

So với điều kiện \(\left(  *  \right)\), suy ra \(\dfrac{1}{2} < m < 1\).