Cho các số phức \(z,w\) thỏa mãn \(\left| z-5+3i \right|=3,\,\,\,\left| iw+4+2i \right|=2\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(T=\left| 3iz+2w \right|.\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = 3iz\\v = - \,2w\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = \dfrac{u}{{3i}}\\w = - \dfrac{v}{2}\end{array} \right.\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {z - 5 + 3i} \right| = 3\\\left| {iw + 4 + 2i} \right| = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {\dfrac{u}{{3i}} - 5 + 3i} \right| = 3\\\left| { - \dfrac{{iv}}{2} + 4 + 2i} \right| = 2\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {\dfrac{{u - 9 - 15i}}{{3i}}} \right| = 3\\\left| {\dfrac{{iv - 8 - 4i}}{2}} \right| = 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {u - 9 - 15i} \right| = 9\\\left| {iv - 8 - 4i} \right| = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {u - 9 - 15i} \right| = 9\\\left| {v - 4 + 8i} \right| = 4\end{array} \right.\).
Do đó, tập hợp điểm \(M\) biểu diễn số phức \(u\) thuộc đường tròn \(\left( {{C}_{1}} \right):{{\left( x-9 \right)}^{2}}+{{\left( y-15 \right)}^{2}}=81.\)
Tập hợp điểm \(N\) biểu diễn số phức \(v\) thuộc đường tròn \(\left( {{C}_{2}} \right):{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y+8 \right)}^{2}}=16.\)
Xét \(\left( {{C}_{1}} \right)\) có tâm \({{I}_{1}}\left( 9;15 \right),\) bán kính \({R_1} = 9;\) \(\left( {{C_2}} \right)\) có tâm \({I_2}\left( {4; - \,8} \right),\) bán kính \({{R}_{2}}=4.\)
Dễ thấy \(\left( {{C}_{1}} \right),\,\,\left( {{C}_{2}} \right)\) không cắt nhau \(\Rightarrow \,\,\left| u-v \right|=MN\) lớn nhất \( \Leftrightarrow \,\,MN = {I_1}{I_2} + {R_1} + {R_2} = \sqrt {554} + 13.\)
Vậy \(T=\left| 3iz+2w \right|\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(\sqrt{554}+13.\)