Cho biểu thức \(P = \left( {\dfrac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^3}}  - 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt x  - 1}}} \right):\left( {1 - \dfrac{{x + 4}}{{x + \sqrt x  + 1}}} \right)\)

Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên dương.

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 1\\x \ne 9\end{array} \right.\)

Ta có: \(P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} = \dfrac{{\sqrt x  - 3 + 3}}{{\sqrt x  - 3}} = 1 + \dfrac{3}{{\sqrt x  - 3}}.\)

Để \(P\) nhận giá trị là số nguyên dương thì \(\left\{ \begin{array}{l}P \in \mathbb{Z}\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{3}{{\sqrt x  - 3}} \in \mathbb{Z}\\1 + \dfrac{3}{{\sqrt x  - 3}} > 0\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{3}{{\sqrt x  - 3}} \in Z\\\dfrac{3}{{\sqrt x  - 3}} >  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{3}{{\sqrt x  - 3}} \in Z\\\dfrac{{3 + \sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  - 3}} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {\sqrt x  - 3} \right) \in U\left( 3 \right)(1)\\\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} > 0(2)\end{array} \right.\\(1) \Leftrightarrow \left( {\sqrt x  - 3} \right) \in \left\{ {1;\,\,3} \right\}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  - 3 = 1\\\sqrt x  - 3 = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  = 4\\\sqrt x  = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 16\,\,\left( {tm} \right)\\x = 36\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy x = 16 hoặc x = 36 thì P nguyên dương.