Cho các biểu thức : \(P = \left( {\dfrac{{3\sqrt x }}{{x\sqrt x  + 1}} - \dfrac{{\sqrt x }}{{x - \sqrt x  + 1}} + \dfrac{1}{{\sqrt x  + 1}}} \right):\dfrac{{\sqrt x  + 3}}{{x - \sqrt x  + 1}}\,\,\,\left( {x \ge 0} \right)\)

Rút gọn biểu thức \(P.\) Tìm các giá trị của \(x\) để \(P \ge \dfrac{1}{5}\).

Điều kiện: \(x \ge 0.\)

\(\begin{array}{l}P = \left( {\dfrac{{3\sqrt x }}{{x\sqrt x  + 1}} - \dfrac{{\sqrt x }}{{x - \sqrt x  + 1}} + \dfrac{1}{{\sqrt x  + 1}}} \right):\dfrac{{\sqrt x  + 3}}{{x - \sqrt x  + 1}}\\\,\,\,\, = \left[ {\dfrac{{3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {x - \sqrt x  + 1} \right)}} - \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {x - \sqrt x  + 1} \right)}} + \dfrac{{x - \sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {x - \sqrt x  + 1} \right)}}} \right]:\dfrac{{\sqrt x  + 3}}{{x - \sqrt x  + 1}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{3\sqrt x  - x - \sqrt x  + x - \sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {x - \sqrt x  + 1} \right)}}.\dfrac{{x - \sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  + 3}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {x - \sqrt x  + 1} \right)}}.\dfrac{{x - \sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  + 3}} = \dfrac{1}{{\sqrt x  + 3}}.\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow P \ge \dfrac{1}{5} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\sqrt x  + 3}} \ge \dfrac{1}{5}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\sqrt x  + 3}} - \dfrac{1}{5} \ge 0 \Leftrightarrow \dfrac{{5 - \sqrt x  - 3}}{{5\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} \ge 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2 - \sqrt x }}{{5\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} \ge 0 \Leftrightarrow 2 - \sqrt x  \ge 0\\ \Leftrightarrow \sqrt x  \le 2 \Leftrightarrow x \le 4\end{array}\)

Vậy \(0 \le x \le 4\) thỏa mãn bài toán.