Cho ba số thực \(a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c\) không âm và thỏa mãn ${a^2} + {b^2} + {c^2} + abc = 4$. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức $S = {a^2} + {b^2} + {c^2}$ lần lượt là:

Từ giả thiết suy ra ${a^2} + {b^2} + {c^2} \le 4.$

Ta có $4 = {a^2} + {b^2} + {c^2} + abc = {a^2} + {b^2} + {c^2} + \sqrt {{a^2}{b^2}{c^2}} .$

Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có \(\dfrac{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^3}}}{{27}} \ge {a^2}{b^2}{c^2}\).

Từ đó suy ra $4 \le {a^2} + {b^2} + {c^{2}} + \sqrt {\dfrac{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^3}}}{{27}}} $

Đặt \(S=a^2+b^2+c^2\) ta được:

$\begin{array}{l}
\sqrt {\frac{{{S^3}}}{{27}}} \ge 4 - S \Leftrightarrow \frac{{{S^3}}}{{27}} \ge 16 - 8S + {S^2}\\
\Leftrightarrow {S^3} \ge 432 - 216S + 27{S^2}\\
\Leftrightarrow {S^3} - 27{S^2} + 216S - 432 \ge 0\\
\Leftrightarrow \left( {S - 3} \right)\left( {{S^2} - 24S + 144} \right) \ge 0\\
\Leftrightarrow \left( {S - 3} \right){\left( {S - 12} \right)^2} \ge 0\\
\Leftrightarrow S - 3 \ge 0\\
\Leftrightarrow S \ge 3
\end{array}$

Do đó \(3\le S\le 4\).

S=3 khi a=b=c=1, S=4 chẳng hạn tại a=0 và b=c=2.

Vậy GTNN của S bằng 3 và GTLN của S bằng 4.