Cho \(A = \dfrac{{2\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 2}}\) với \(x \ge 0.\) Có bao nhiêu giá trị của \(x\) để \(A\) có giá trị nguyên.

Ta có: \(A = \dfrac{{2\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 2}} = \dfrac{{\left( {2\sqrt x  + 4} \right) - 5}}{{\sqrt x  + 2}} = \dfrac{{2\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\sqrt x  + 2}} - \dfrac{5}{{\sqrt x  + 2}} = 2 - \dfrac{5}{{\sqrt x  + 2}}\)

Ta có: \(x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x  \ge 0 \Leftrightarrow \sqrt x  + 2 \ge 2 > 0 \Rightarrow \dfrac{5}{{\sqrt x  + 2}} > 0\) suy ra \(2 - \dfrac{5}{{\sqrt x  + 2}} < 2\) hay \(A < 2\)  (1)

Lại có: \(\sqrt x  + 2 \ge 2 \Rightarrow \dfrac{5}{{\sqrt x  + 2}} \le \dfrac{5}{2}\) suy ra \(2 - \dfrac{5}{{\sqrt x  + 2}} \ge 2 - \dfrac{5}{2} \Leftrightarrow A \ge  - \dfrac{1}{2}\) (2)

Từ (1) và (2) ta có: \( - \dfrac{1}{2} \le A < 2\) mà \(A \in \mathbb{Z} \Rightarrow A \in \left\{ {0;1} \right\}\)

+ Với \(A = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{2\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 2}} = 0 \Rightarrow 2\sqrt x  - 1 = 0 \Leftrightarrow \sqrt x  = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{4}\left( {tm} \right)\)

+ Với \(A = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{2\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 2}} = 1 \Rightarrow 2\sqrt x  - 1 = \sqrt x  + 2 \Leftrightarrow \sqrt x  = 3 \Leftrightarrow x = 9\left( {tm} \right)\)

Vậy với \(x = \dfrac{1}{4};x = 9\) thì \(A\) đạt giá trị nguyên. Hay có 2 giá trị của \(x\) thỏa mãn đề bài.