Biết rằng trong bóng đá, khi sút phạt, cầu thủ sút phạt ngẫu nhiên vào \(1\) trong bốn vị trí $1$, $2$, $3$, $4$ và thủ môn bay người cản phá ngẫu nhiên đến $1$ trong $4$ vị trí $1$, $2$, $3$, $4$ với xác suất như nhau (thủ môn và cầu thủ sút phạt đều không đoán được ý định của đối phương). Biết nếu cầu thủ sút và thủ môn bay cùng vào vị trí $1$ (hoặc $2$) thì thủ môn cản phá được cú sút đó, nếu cùng vào vị trí $3$ (hoặc $4$) thì xác suất cản phá thành công là $50\% $. Tính xác suất của biến cố “cú sút đó không vào lưới”?

Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega  \right) = 4.4 = 16\)

Gọi biến cố \(A = \) “Cú sút đó không vào lưới”

Khi đó biến cố \(\overline A  = \) “Cú sút đó vào lưới”

Trường hợp 1: Cầu thủ sút vào vị trí \(1\) hoặc \(2\).

Cầu thủ có \(2\) cách sút \(\left\{ {1;2} \right\}\)

Thủ môn bay vào vị trí khác vị trí cầu thủ sút có \(3\) cách.

Do đó, có \(2.3 = 6\) khả năng xảy ra.

Xác suất trong TH này là \(\dfrac{6}{{16}} = \dfrac{3}{8}\)

Trường hợp 2: Cầu thủ sút vào vị trí \(3\) hoặc \(4\), thủ môn bay vào \(1\) trong \(3\) vị trí còn lại

Cầu thủ có \(2\) cách sút \(\left\{ {3;4} \right\}\)

Thủ môn bay vào vị trí khác vị trí cầu thủ sút có \(3\) cách.

Do đó, có \(2.3 = 6\) khả năng xảy ra

Xác suất trong TH này là \(\dfrac{6}{{16}} = \dfrac{3}{8}\)

Trường hợp 3: Cầu thủ sút vào vị trí 3 thủ môn bay vào vị trí 3

Cầu thủ có 1 cách sút

Thủ môn có 1 cách bay

Do đó, có 1 khả năng xảy ra.

Xác suất trong TH này là \(\dfrac{1}{{16}}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{{32}}\)

Trường hợp 4: Cầu thủ sút vào vị trí 4 thủ môn bay vào vị trí 4

Cầu thủ có 1 cách sút

Thủ môn có 1 cách bay

Do đó, có 1 khả năng xảy ra

Xác suất trong TH này là \(\dfrac{1}{{16}}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{{32}}\)

Do đó \(P\left( {\overline A } \right) = \dfrac{3}{8} + \dfrac{3}{8} + \dfrac{1}{{32}} + \dfrac{1}{{32}} = \dfrac{{13}}{{16}}\)

Vậy \(P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = 1 - \dfrac{{13}}{{16}} = \dfrac{3}{{16}}\)