Giải SGK Toán 11 Bài 5 (Chân trời sáng tạo): Phương trình lượng giác

Chúng tôi giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 11 Bài 5: Phương trình lượng giác chi tiết sách Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 11 Bài 5: Phương trình lượng giác

Giải Toán 11 trang 34 Tập 1

Hoạt động khởi động trang 34 Toán 11 Tập 1: Trong hình bên, khi bàn đạp xe đạp quay, bóng M của đầu trục quay dao động trên mặt đất quanh điểm O theo phương trình s = 17cos5πt với s (cm) là tọa độ của điểm M trên trục Ox và t (giây) là thời gian bàn đạp quay. Làm cách nào để xác định được các thời điểm mà tại đó độ dài bóng OM bằng 10cm?

Hoạt động khởi động trang 34 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

Lời giải:

Để xác định được các thời điểm mà tại đó độ dài bóng OM bằng 10cm thì s = 10

⇔ 17cos5πt = 10

Ta cần giải phương trình cos5πt = $\frac{10}{17}$

Bài học này sẽ giúp chúng ta giải quyết phương trình trên.

Hoạt động khám phá 1 trang 34 Toán 11 Tập 1: Xác định và so sánh tập nghiệm của các phương trình sau:

a) x – 1 = 0;

b) x² – 1 = 0;

c) $\sqrt{2 x^{2} - 1} = x$ .

Lời giải:

a) x – 1 = 0 ⇔ x = 1.

Vậy tập nghiệm của phương trình là S₁ = {1}.

b) x² – 1 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = – 1

Vậy tập nghiệm của phương trình là S₂ = { – 1; 1}.

c) $\sqrt{2 x^{2} - 1} = x$

$\Rightarrow 2 x^{2} - 1 = x^{2}$

$\Rightarrow x^{2} = 1$

Hoạt động khám phá 1 trang 34 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

Thay x = 1 và x = – 1 vào phương trình ban đầu ta thấy x = 1 là thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình là S₃ = {1}.

Ta có nhận xét:

S₁ = S₃ ⊂ S₂.

Giải Toán 11 trang 35 Tập 1

Thực hành 1 trang 35 Toán 11 Tập 1: Chỉ ra lỗi sai trong phép biến đổi phương trình dưới đây

$x^{2} = 2 x \Leftrightarrow \frac{x^{2}}{x} = 2 \Leftrightarrow x = 2$

Lời giải:

Lỗi sai: Phương trình x² = 2x và phương trình $\frac{x^{2}}{x} = 2$ không tương đương vì:

Phương trình x² = 2x có tập nghiệm S₁ = {0; 2}.

Phương trình $\frac{x^{2}}{x} = 2$ có tập nghiệm S₂ = {2}.

Hoạt động khám phá 2 trang 35 Toán 11 Tập 1: a) Có giá trị nào của x để sinx = 1,5 không?

b) Trong Hình 1, những điểm nào trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác x có sinx = 0,5? Xác định số đo của các góc lượng giác đó.

Hoạt động khám phá 2 trang 35 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

Lời giải:

a) Vì – 1 ≤ x ≤ 1 mà 1,5 > 1 nên không tồn tại giá trị của x để sinx = 1,5.

b) Trên Hình 1, những điểm trên đường tròn biểu diễn góc lượng giác x có sinx = 0,5 là điểm M và N.

Điểm M biểu diễn cho các góc lượng giác có số đo là $\frac{π}{6} + k 2 π, k \in ℤ$ .

Điểm N biểu diễn cho các góc lượng giác có số đo là $\frac{5 π}{6} + k 2 π, k \in ℤ$ .

Giải Toán 11 trang 36 Tập 1

Thực hành 2 trang 36 Toán 11 Tập 1: Giải các phương trình sau:

a) sinx = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ;

b) sin(x + 30°) = sin(x + 60°).

Lời giải:

a) sinx = $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Vì sin $\frac{π}{3}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ nên phương trình sinx = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ = sin $\frac{π}{3}$ có các nghiệm là:

$x = \frac{π}{3} + k 2 π$ và $x = \frac{2 π}{3} + k 2 π$ , k ∈ ℤ.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S = $(\frac{π}{3} + k 2 π, \frac{2 π}{3} + k 2 π, k \in ℤ)$ .

b) sin(x + 30°) = sin(x + 60°)

⇔ x + 30° = x + 60° + k360° hoặc x + 30° = 360° – x – 60° + k360° (k ∈ ℤ)

⇔ 30° = 60° + k360° (vô lí) hoặc x = 150° + k180° (k ∈ ℤ).

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S = {150° + k180°, k ∈ ℤ}.

Hoạt động khám phá 3 trang 36 Toán 11 Tập 1: Trong Hình 3, những điểm nào trên đường tròn lượng giác biểu diễn diễn góc lượng giác x có cosx = $- \frac{1}{2}$ ? Xác định số đo của các góc lượng giác đó.

Hoạt động khám phá 3 trang 36 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

Lời giải:

Trên đường tròn lượng giác điểm M và N biểu diễn diễn góc lượng giác x có cosx = $- \frac{1}{2}$ .

Điểm M là điểm biểu diễn cho các góc lượng giác có số đo là: $\frac{2 π}{3} + k 2 π, k \in ℤ$ .

Điểm N là điểm biểu diễn cho các góc lượng giác có số đo là: $- \frac{2 π}{3} + k 2 π, k \in ℤ$ .

Giải Toán 11 trang 37 Tập 1

Thực hành 3 trang 37 Toán 11 Tập 1: Giải các phương trình sau

a) cosx = – 3;

b) cosx = cos15°;

c) $cos (x + \frac{π}{12}) = cos \frac{3 π}{12}$ .

Lời giải:

a) Vì – 3 < – 1 nên phương trình cosx = – 3 vô nghiệm.

b) cosx = cos15°

⇔ x = 15° + k360° hoặc x = – 15° + k360° .

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {15° + k360°; – 15° + k360°, k ∈ ℤ}.

c) $cos (x + \frac{π}{12}) = cos \frac{3 π}{12}$

$\Leftrightarrow x + \frac{π}{12} = \frac{3 π}{12} + k 2 π$ hoặc $x + \frac{π}{12} = - \frac{3 π}{12} + k 2 π, k \in ℤ$

$\Leftrightarrow x = \frac{π}{6} + k 2 π$ hoặc $x = - \frac{π}{3} + k 2 π, k \in ℤ$

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = $(\frac{π}{6} + k 2 π; - \frac{π}{3} + k 2 π, k \in ℤ)$ .

Hoạt động khám phá 4 trang 37 Toán 11 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho T là điểm trên trục tang có tọa độ là (1; $\sqrt{3}$ ) (Hình 5). Những điểm nào trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác x có tanx = $\sqrt{3}$ ? Xác định số đo của các góc lượng giác đó.

Lời giải:

Hoạt động khám phá 4 trang 37 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

Ta thấy M và N là hai điểm biểu diễn các góc lượng giác thỏa mãn tanx = $\sqrt{3}$ .

Điểm M là điểm biểu diễn các góc lượng giác có số đo $\frac{π}{3} + k 2 π, k \in ℤ$ .

Điểm N là điểm biểu diễn các góc lượng giác có số đo $- \frac{2 π}{3} + k π, k \in ℤ$ .

Giải Toán 11 trang 38 Tập 1

Thực hành 4 trang 38 Toán 11 Tập 1: Giải các phương trình sau

a) tanx = 0;

b) tan(30° – 3x) = tan75°.

Lời giải:

a) Điều kiện xác định là: $x \neq \frac{π}{2} + k π, k \in ℤ$ .

Vì tan0 = 0 nên phương trình tanx = 0 có các nghiệm x = kπ, k ∈ ℤ.

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {kπ, k ∈ ℤ}.

b) tan(30° – 3x) = tan75°

⇔ tan(3x – 30°) = tan(– 75°)

⇔ 3x – 30° = – 75° + k360°, k ∈ ℤ

⇔ 3x = – 45° + k360°, k ∈ ℤ

⇔ x = – 15° + k120°, k ∈ ℤ

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = { – 15° + k120°, k ∈ ℤ}.

Hoạt động khám phá 5 trang 38 Toán 11 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho C là điểm trên trục côtang có tọa độ là (– 1; 1) (Hình 7). Những điểm nào biểu diễn góc lượng giác x có cotx = – 1? Xác định số đo của các góc lượng giác đó.

Hoạt động khám phá 5 trang 38 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

Lời giải:

Trên đường tròn lượng giác hai điểm M và N biểu diễn các góc lượng giác có số đo góc x thỏa mãn cotx = – 1.

Điểm M biểu diễn các góc lượng giác có số đo góc $\frac{3 π}{4} + k 2 π, k \in ℤ$ .

Điểm N biểu diễn các góc lượng giác có số đo góc $- \frac{π}{4} + k 2 π, k \in ℤ$ .

Giải Toán 11 trang 39 Tập 1

Thực hành 5 trang 39 Toán 11 Tập 1: Giải các phương trình sau:

a) cotx = 1;

b) cot(3x + 30°) = cot75°.

Lời giải:

a) Vì cot $\frac{π}{4}$ = 1 nên phương trình cotx = 1 có các nghiệm là $x = \frac{π}{4} + k π, k \in ℤ$ .

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = $(\frac{π}{4} + k π, k \in ℤ)$ .

b) cot(3x + 30°) = cot75°

⇔ 3x + 30° = 75° + k180°, k ∈ ℤ

⇔ 3x = 45° + k180°, k ∈ ℤ

⇔ x = 15° + k60°, k ∈ ℤ

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {15° + k60°, k ∈ ℤ}.

Giải Toán 11 trang 40 Tập 1

Thực hành 6 trang 40 Toán 11 Tập 1: Sử dụng máy tính cầm tay để giải các phương trình sau:

a) cosx = 0,4;

b) tanx = $\sqrt{3}$ .

Lời giải:

a) Sử dụng máy tính cầm tay ta có: cos1,16 ≈ 0,4 nên cosx = cos1,16 do đó các nghiệm của phương trình là x = 1,16 + k2π và x = – 1,16 + k2π với k ∈ ℤ.

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {1,16 + k2π; – 1,16 + k2π, k ∈ ℤ}.

b) Sử dụng máy tính cầm tay ta có: tan $\frac{π}{3}$ = $\sqrt{3}$ nên tanx = tan $\frac{π}{3}$ do đó các nghiệm của phương trình là x = $\frac{π}{3}$ + k $π$ với k ∈ ℤ.

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = $(\frac{π}{3} + k π, k \in ℤ)$ .

Vận dụng trang 40 Toán 11 Tập 1: Quay lại bài toán khởi động, phương trình chuyển động của bóng đầu trục bàn đạp là x = 17cos5πt (cm) với t được đo bằng giây. Xác định các thời điểm t mà tại đó độ dài bóng |x| bằng 10 cm. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Lời giải:

Xét phương trình |17cos5πt| = 10

Vận dụng trang 40 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

Độ dài bóng |x| bằng 10 cm tại các thời điểm t = $\pm$ 0,06 +k $\frac{2}{5}$ , t = $\pm$ 0,14 + k $\frac{2}{5}$ (k $\in$ Z).

Bài tập

Bài 1 trang 40 Toán 11 Tập 1: Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sin2x = $\frac{1}{2}$ ;

b) sin $(x - \frac{π}{7})$ = sin $\frac{2 π}{7}$ ;

c) sin4x - cos $(x + \frac{π}{6})$ = 0.

Lời giải:

a) Vì sin $\frac{π}{6}$ = $\frac{1}{2}$ nên ta có phương trình sin2x = sin $\frac{π}{6}$

Bài 1 trang 40 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = $(\frac{π}{12} + k π, \frac{5 π}{12} + k π, k \in ℤ)$ .

b) sin $(x - \frac{π}{7})$ = sin $\frac{2 π}{7}$

Bài 1 trang 40 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = $(\frac{3 π}{7} + k 2 π; \frac{6 π}{7} + k 2 π, k \in ℤ)$ .

c) sin4x - cos $(x + \frac{π}{6})$ = 0

Bài 1 trang 40 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = $(\frac{2 π}{9} + k \frac{2 π}{3}; - \frac{2 π}{15} + k \frac{2 π}{5}, k \in ℤ)$ .

Bài 2 trang 40 Toán 11 Tập 1: Giải các phương trình lượng giác sau:

a) cos $(x + \frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ;

b) cos4x = cos $\frac{5 π}{12}$ ;

c) cos²x = 1.

Lời giải:

Bài 2 trang 40 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = $(- \frac{π}{6} + k 2 π; - \frac{π}{2} + k 2 π, k \in ℤ)$ .

Bài 2 trang 40 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = $(\pm \frac{5 π}{48} + k \frac{π}{2}, k \in ℤ)$ .

c) cos²x = 1

Bài 2 trang 40 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {k $π$ , k $\in$ Z}.

Giải Toán 11 trang 41 Tập 1

Bài 3 trang 41 Toán 11 Tập 1: Giải các phương trình lượng giác sau:

a) tanx = tan55°;

b) tan $(2 x + \frac{π}{4})$ =0.

Lời giải:

a) tanx = tan55° (điều kiện xác định x ≠ 90° + k180°).

⇔ x = 55° + k180°, k ∈ ℤ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy tập nghiệm của phương trình S = {55° + k180°, k ∈ ℤ}.

b) tan $(2 x + \frac{π}{4})$ =0 (điều kiện xác định $2 x + \frac{π}{4} \neq \frac{π}{2} + k 2 π \Leftrightarrow x \neq \frac{π}{8} + k π, k \in ℤ$ )

$\Leftrightarrow 2 x + \frac{π}{4} = k π, k \in ℤ$

$\Leftrightarrow x = - \frac{π}{4} + k \frac{π}{2}, k \in ℤ$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = $(- \frac{π}{4} + k \frac{π}{2}, k \in ℤ)$ .

Bài 4 trang 41 Toán 11 Tập 1: Giải các phương trình lượng giác sau:

a) cot $(\frac{1}{2} x + \frac{π}{4})$ = -1;

b) cot3x = $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Lời giải:

a) cot $(\frac{1}{2} x + \frac{π}{4})$ = -1 (điểu kiện xác định x # $\frac{π}{2}$ + k2 $π$ , k $\in$ Z)

$\Leftrightarrow \frac{1}{2} x + \frac{π}{4} = - \frac{π}{4} + k π, k \in ℤ$

$\Leftrightarrow x = - π + k 2 π, k \in ℤ$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = $(- π + k 2 π, k \in ℤ)$ .

b) cot3x = $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ (điểu kiện xác định x # k $\frac{π}{3}$ , k $\in$ Z)

Bài 4 trang 41 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = $(- \frac{π}{9} + k \frac{π}{3}, k \in ℤ)$ .

Bài 5 trang 41 Toán 11 Tập 1: Tại các giá trị nào của x thì đồ thị hàm số y = cosx và y = sinx giao nhau?

Lời giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: sinx = cosx

⇔ cosx = cos $(\frac{π}{2} - x)$

Bài 5 trang 41 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = $(\frac{π}{4} + k 2 π, k \in ℤ)$ .

Bài 6 trang 41 Toán 11 Tập 1: Trong Hình 9, khi được kéo ra khỏi vị trí cân bằng ở điểm O và buông tay, lực đàn hồi của lò xo khiến vật A gắn ở đầu của lò xo dao động quanh O. Tọa độ s (cm) của A trên trục Ox vào thời điểm t (giây) sau khi buông tay được xác định bởi công thức s = 10sin $(10 t + \frac{π}{2})$ . Vào các thời điểm nào thì s = -5 $\sqrt{3}$ cm?

(Theo https://www.britannica.com/science/simple-harmonic-motion )

Bài 6 trang 41 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

Lời giải:

Xét phương trình: 10sin $(10 t + \frac{π}{2})$ = -5 $\sqrt{3}$

Bài 6 trang 41 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

Vậy vào các thời điểm $t = - \frac{π}{12} + k \frac{π}{5} (k \geq 1, k \in ℤ)$ và $t = \frac{π}{12} + k \frac{π}{5} (k \geq 0, k \in ℤ)$ thì s = -5 $\sqrt{3}$ cm.

Bài 7 trang 41 Toán 11 Tập 1: Trong Hình 10, ngọn đèn hải đăng H cách bờ biển yy’ một khoảng HO = 1km. Đèn xoay ngược chiều kim đồng hồ với tốc độ $\frac{π}{10}$ rad/s và chiếu hai luồng ánh sáng về hai phía đối diện nhau. Khi đèn xoay, điểm M mà luồng ánh sáng của hải đăng rọi vào bờ biển chuyển động dọc theo bờ.

(Theo https://www.mnhs.org/splitrock/learn/technology)

Bài 7 trang 41 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

a) Ban đầu luồng sáng trùng với đường thẳng HO. Viết hàm số biểu thị tọa độ y_M của điểm M trên trục Oy theo thời gian t.

b) Ngôi nhà N nằm trên bờ biển với tọa độ y_S = – 1 (km). Xác định các thời điểm t mà đèn hải đăng chiếu vào ngôi nhà.

Lời giải:

a) Sau t giây điểm M quét được một góc lượng giác có số đo là: $α = \frac{π}{10} t$ rad.

Xét tam giác HOM vuông tại O có:

MO = tanα.1 = tan $(\frac{π}{10} t)$ .

Vậy tọa độ y_M= tan $(\frac{π}{10} t)$ .

b) Xét tan $(\frac{π}{10} t)$ = -1

$\Leftrightarrow$ tan $(\frac{π}{10} t)$ = tan $(- \frac{π}{4})$

$\Leftrightarrow$ $\frac{π}{10} t$ = $- \frac{π}{4}$ + k $π$ , k $\in$ Z

$\Leftrightarrow$ t = -2,5 + 10k, k $\in$ Z

Vì t ≥ 0 nên tại các thời điểm t = -2,5 + 10k, k $\in$ Z, k $\geq$ 1 thì đèn hải đăng chiếu vào ngôi nhà.

Giải SGK, SBT, Chuyên đề Toán Học Lớp 11 Sách chân trời sáng tạo

Xem thêm các chương trình khác: