Với \(x;\,\,y;\,\,z\) là các số thực thỏa mãn \(x + y + z + xy + yz + zx = 6\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(P = \sqrt {4 + {x^4}}  + \sqrt {4 + {y^4}}  + \sqrt {4 + {z^4}} \).

Trước hết ta chứng minh với $x;y;z;t$ bất kì thì

\(\sqrt {{x^2} + {y^2}}  + \sqrt {{z^2} + {t^2}}  \ge \sqrt {{{\left( {x + z} \right)}^2} + {{\left( {y + t} \right)}^2}} \) (*).

Thật vậy, bất đẳng thức (*) tương đương với

\({x^2} + {y^2} + {z^2} + {t^2} + 2\sqrt {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {{z^2} + {t^2}} \right)} \)\( \ge {x^2} + 2xz + {z^2} + {y^2} + 2yt + {t^2}\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {{z^2} + {t^2}} \right)}  \ge xz + yt\)

Đúng vì theo bất đẳng thức Bunhia cốp xki

\(\sqrt {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {{z^2} + {t^2}} \right)}  \ge \sqrt {{{\left( {xz + yt} \right)}^2}}  \)\(= \left| {\left( {xz + yt} \right)} \right| \ge \left( {xz + yt} \right)\).

Áp dụng (*) ta có

\(P = \sqrt {4 + {x^4}}  + \sqrt {4 + {y^4}}  + \sqrt {4 + {z^4}} \)\( \ge \sqrt {{{\left( {2 + 2} \right)}^2} + {{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}^2}}  + \sqrt {4 + {z^4}} \)\( \ge \sqrt {{{\left( {2 + 2 + 2} \right)}^2} + {{\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)}^2}} \)

\( = \sqrt {36 + {{\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)}^2}} \).

Ta có \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} + {\left( {x - y} \right)^2} + {\left( {y - z} \right)^2} + {\left( {z - x} \right)^2} \ge 0\)

\( \Rightarrow 3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} + 3 \ge 2x + 2y + 2z + 2xy + 2yz + 2zx\)

\( \Rightarrow 3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} + 3 \ge 2.6 = 12 \)\(\Rightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} \ge 3.\)

Từ đó \(P \ge \sqrt {36 + 9}  = 3\sqrt 5 \).

Dấu “=” xảy ra \(x = y = z = 1\).

Vậy \({{\rm P}_{\min }} = 3\sqrt 5 .\)