Câu hỏi:
2 năm trước
Với \(x;\,\,y;\,\,z\) là các số thực thỏa mãn \(x + y + z + xy + yz + zx = 6\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P = \sqrt {4 + {x^4}} + \sqrt {4 + {y^4}} + \sqrt {4 + {z^4}} \).
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
Trước hết ta chứng minh với $x;y;z;t$ bất kì thì
\(\sqrt {{x^2} + {y^2}} + \sqrt {{z^2} + {t^2}} \ge \sqrt {{{\left( {x + z} \right)}^2} + {{\left( {y + t} \right)}^2}} \) (*).
Thật vậy, bất đẳng thức (*) tương đương với
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + {t^2} + 2\sqrt {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {{z^2} + {t^2}} \right)} \)\( \ge {x^2} + 2xz + {z^2} + {y^2} + 2yt + {t^2}\)
\( \Leftrightarrow \sqrt {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {{z^2} + {t^2}} \right)} \ge xz + yt\)
Đúng vì theo bất đẳng thức Bunhia cốp xki
\(\sqrt {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {{z^2} + {t^2}} \right)} \ge \sqrt {{{\left( {xz + yt} \right)}^2}} \)\(= \left| {\left( {xz + yt} \right)} \right| \ge \left( {xz + yt} \right)\).
Áp dụng (*) ta có
\(P = \sqrt {4 + {x^4}} + \sqrt {4 + {y^4}} + \sqrt {4 + {z^4}} \)\( \ge \sqrt {{{\left( {2 + 2} \right)}^2} + {{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}^2}} + \sqrt {4 + {z^4}} \)\( \ge \sqrt {{{\left( {2 + 2 + 2} \right)}^2} + {{\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)}^2}} \)
\( = \sqrt {36 + {{\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)}^2}} \).
Ta có \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} + {\left( {x - y} \right)^2} + {\left( {y - z} \right)^2} + {\left( {z - x} \right)^2} \ge 0\)
\( \Rightarrow 3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} + 3 \ge 2x + 2y + 2z + 2xy + 2yz + 2zx\)
\( \Rightarrow 3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} + 3 \ge 2.6 = 12 \)\(\Rightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} \ge 3.\)
Từ đó \(P \ge \sqrt {36 + 9} = 3\sqrt 5 \).
Dấu “=” xảy ra \(x = y = z = 1\).
Vậy \({{\rm P}_{\min }} = 3\sqrt 5 .\)
Hướng dẫn giải:
Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki và mở rộng của bất đẳng thức
+ Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho bốn số \(x;\,\,y;\,\,z;\,\,t\): \(\sqrt {\left({{x^2} + {y^2}} \right)\left( {{z^2} + {t^2}} \right)} \ge xz + yt.\)
+ Phát triển tử bất đẳng thức trên để được bất đẳng thức :
$\sqrt {{x^2} + {y^2}} + \sqrt {{z^2} + {t^2}} \ge \sqrt {{{\left( {x + z} \right)}^2} + {{\left( {y + t} \right)}^2}}$ (*)
Từ đó sử dụng để làm bài.
