Câu hỏi:
2 năm trước
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho điểm $M\left( {1;2;3} \right).$ Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua M và cắt các tia $Ox;\,\,Oy;\,\,Oz$ lần lượt tại các điểm $A;\,\,B;\,\,C$ $\left( {A;\,\,B;\,\,C \ne O} \right)$ sao cho thể tích của tứ diện $OABC$ nhỏ nhất. Phương trình của mặt phẳng $\left( P \right)$ là
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
Gọi $A\left( {a;0;0} \right),\,\,B\left( {0;b;0} \right),\,\,C\left( {0;0;c} \right)$$ \Rightarrow $ Phương trình mặt phẳng $\left( P \right):\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1.$
Vì $OA,\,\,OB,\,\,OC$ đôi một vuông góc $ \Rightarrow $ Thể tích khối chóp $O.ABC$ là $V = \dfrac{1}{6}OA.OB.OC = \dfrac{{abc}}{6}.$
Điểm $M \in \left( P \right)$ suy ra $1 = \dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{3}{c} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{1}{a}.\dfrac{2}{b}.\dfrac{3}{c}}} \Leftrightarrow 1 \ge {3^3}.\dfrac{6}{{abc}} \Rightarrow abc \ge 162 \Rightarrow V \ge 27.$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\dfrac{1}{a} = \dfrac{2}{b} = \dfrac{3}{c} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 6\\c = 9\end{array} \right..$ Vậy $\left( P \right):\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{6} + \dfrac{z}{9} = 1.$
Hướng dẫn giải:
+) Gọi $A\left( {a;0;0} \right),\,\,B\left( {0;b;0} \right),\,\,C\left( {0;0;c} \right)$$ \Rightarrow $ Phương trình mặt phẳng $\left( P \right):\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1.$
+) Vì mặt phẳng chắn trên các trục tọa độ nên sử dụng phương trình đoạn chắn và áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho việc xác định thể tích min. Từ đó lập được phương trình mặt phẳng
