Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A(0; - 1;2),\,\,B(1;1;2)$ và đường thẳng $d:\,\,\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z - 1}}{1}$. Biết điểm M(a;b;c) thuộc đường thẳng d sao cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất. Khi đó, giá trị $T = a + 2b + 3c$ bằng

$A(0; - 1;2),\,\,B(1;1;2) \Rightarrow \overrightarrow {AB} \left( {1;2;0} \right) \Rightarrow AB:\left\{ \begin{array}{l}x = {t_1}\\y =  - 1 + 2{t_1}\\z = 2\end{array} \right.$

$\left( d \right):\,\,\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z - 1}}{1} \Leftrightarrow \left( d \right):\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + t\\y = t\\z = 1 + t\end{array} \right.$

Mà M thuộc d nên khoảng cách $d{(M;AB)_{\min }} = d(d;AB) = $ Độ dài đoạn vuông góc chung của d và AB.

Gọi HK là đoạn vuông góc chung của AB và d $\left( {H \in d,\,\,K \in AB} \right)$

Vì $H \in d,\,\,K \in AB$ nên, giả sử $H\left( { - 1 + t;\,\,\,t\,\,;1 + t} \right),\,K\left( {{t_1}; - 1 + 2{t_1};2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {HK}  = \left( {{t_1} - t + 1;2{t_1} - t - 1;1 - t} \right)$

HK là đoạn vuông góc chung của AB và d$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {HK}  \bot \overrightarrow {{u_{AB}}} \\\overrightarrow {HK}  \bot \overrightarrow {{u_d}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {{t_1} - t + 1} \right).1 + \left( {2{t_1} - t - 1} \right).2 + \left( {1 - t} \right)0 = 0\\\left( {{t_1} - t + 1} \right).1 + \left( {2{t_1} - t - 1} \right).1 + \left( {1 - t} \right).1 = 0\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5{t_1} - 3t = 1\\3{t_1} - 3t =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1} = 1\\t = \dfrac{4}{3}\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {\dfrac{1}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{7}{3}} \right)$

Diện tích tam giác MAB nhỏ nhất khi M(a;b;c) trùng$H\left( {\dfrac{1}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{7}{3}} \right)$.

$ \Rightarrow a = \dfrac{1}{3},\,b = \dfrac{4}{3},\,c = \dfrac{7}{3} \Rightarrow T = \dfrac{1}{3} + 2.\dfrac{4}{3} + 3.\dfrac{7}{3} = 10$