Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left( \alpha  \right):2x + y - 2z + 9 = 0$ và ba điểm $A(2;1;0),\,B(0;2;1)$, $C(1;3; - 1)$. Điểm $M \in \left( \alpha  \right)$ sao cho $\left| {2\overrightarrow {MA}  + 3\overrightarrow {MB}  - 4\overrightarrow {MC} } \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khẳng định nào sau đây đúng?

+) Xác định điểm $I(a;b;c)$ sao cho: $2\overrightarrow {IA}  + 3\overrightarrow {IB}  - 4\overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 $:

Ta có:$\overrightarrow {IA}  = \left( {2 - a;1 - b; - c} \right),\,\,\overrightarrow {IB}  = \left( { - a;2 - b;1 - c} \right),\,\,\overrightarrow {IC}  = \left( {1 - a;3 - b; - 1 - c} \right)$

$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( {2 - a} \right) + 3\left( { - a} \right) - 4\left( {1 - a} \right) = 0\\2\left( {1 - b} \right) + 3\left( {2 - b} \right) - 4\left( {3 - b} \right) = 0\\2\left( { - c} \right) + 3\left( {1 - c} \right) - 4\left( { - 1 - c} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b =  - 4\\c = 7\end{array} \right. \Rightarrow I(0; - 4;7)$

Khi đó: $\left| {2\overrightarrow {MA}  + 3\overrightarrow {MB}  - 4\overrightarrow {MC} } \right| = \left| {2\overrightarrow {MI}  + 2\overrightarrow {IA}  + 3\overrightarrow {MI}  + 3\overrightarrow {IB}  - 4\overrightarrow {MI}  - 4\overrightarrow {IC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MI}  + \underbrace {\left( {2\overrightarrow {IA}  + 3\overrightarrow {IB}  - 4\overrightarrow {IC} } \right)}_{\overrightarrow 0 }} \right| = MI$, $ \Rightarrow \left| {2\overrightarrow {MA}  + 3\overrightarrow {MB}  - 4\overrightarrow {MC} } \right|$ đạt GTNN khi và chỉ khi MI ngắn nhất

$ \Leftrightarrow $M là chân đường vuông góc kẻ từ I đến mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$.

+) Xác đinh tọa độ điểm $H$ là chân đường vuông góc kẻ từ $I(0; - 4;7)$ đến mặt phẳng $\left( \alpha  \right):2x + y - 2z + 9 = 0$.

Đường thẳng IH nhận $\overrightarrow {{n_{\left( \alpha  \right)}}} \left( {2;1; - 2} \right)$ là VTCP, phương trình đường thẳng IH:  $\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y =  - 4 + t\\z = 7 - 2t\end{array} \right.$

$\begin{array}{l}H \in IH \Rightarrow H\left( {2t; - 4 + t;7 - 2t} \right)\\H \in \left( \alpha  \right) \Rightarrow 2\left( {2t} \right) + \left( { - 4 + t} \right) - 2\left( {7 - 2t} \right) + 9 = 0 \Leftrightarrow 9t - 9 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow H\left( {2; - 3;5} \right)\end{array}$

Vậy, điểm M cần tìm có tọa độ $M\left( {2; - 3;5} \right) \Rightarrow {x_M} + {y_M} + {z_M} = 4$.