Câu hỏi:
2 năm trước
Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( { - 1;\;0;\;2} \right)\) và đi qua điểm \(A\left( {0;\;1;\;1} \right).\) Xét các điểm \(B,\;C,\;D\) thuộc \(\left( S \right)\) sao cho \(AB,\;AC,\;AD\) đôi một vuông góc với nhau. Thể tích của khối tứ diện \(ABCD\) có giá trị lớn nhất bằng:
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Ta có: \(\overrightarrow {IA} = \left( {1;\;1; - 1} \right) \Rightarrow R = IA = \sqrt 3 .\)
Lại có: \(A:\;\;R = IA = \dfrac{{\sqrt {A{B^2} + A{C^2} + A{D^2}} }}{2} = \sqrt 3 \Rightarrow A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} = 12.\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: \(A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} \ge 3\sqrt[3]{{A{B^2}.A{C^2}.A{D^2}}}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt[3]{{A{B^2}.A{C^2}.A{D^2}}} \le 4 \Leftrightarrow AB.AC.AD \le 8.\\ \Rightarrow {V_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}AB.AC.AD \le \dfrac{1}{6}.8 = \dfrac{4}{3}.\end{array}\)
Hướng dẫn giải:
+) Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tam diện vuông tại \(A:\;\;R = IA = \dfrac{{\sqrt {A{B^2} + A{C^2} + A{D^2}} }}{2}.\)
+) Thể tích tam diện vuông: \({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}AB.AC.AD.\)
