Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\Delta :\dfrac{x}{1} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{z}{1}$ và hai điểm $A(1;2; - 5),\,B( - 1;0;2)$. Biết điểm M thuộc $\Delta $ sao cho biểu thức $T = \left| {MA - MB} \right|$ đạt GTLN là ${T_{max}}$. Khi đó,  ${T_{max}}$ bằng bao nhiêu?

+) Chứng minh $A, B,\Delta $ đồng phẳng:

Gọi $\left( \alpha  \right)$ là mặt phẳng qua A và chứa $\Delta $ ($\Delta $ đi qua $C(0;1;0)$ và nhận $\overrightarrow u (1;1;1)$ là VTCP)

$\overrightarrow {AC}  = \left( { - 1; - 1;5} \right)$

 $\left( \alpha  \right)$ có 1 VTPT  $\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {AC} } \right] = (6; - 6;0)$.

Phương trình mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$:  $6(x - 1) - 6(y - 2) + 0(z + 5) = 0 \Leftrightarrow x - y + 1 = 0$

Ta có:  $\,B( - 1;0;2);\,\,\, - 1 + 0 + 1 = 0 \Rightarrow B \in \left( \alpha  \right)$

$ \Rightarrow $ A, B, $\Delta $ đồng phẳng.

+) Tìm giao điểm của $M$ của $AB $ và $\Delta $:

$\Delta :\dfrac{x}{1} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{z}{1}$ có PTTS : $\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 1 + t\\z = t\end{array} \right.$ , $M \in \Delta  \Rightarrow M(t;1 + t;t)$

$\,\overrightarrow {AB} ( - 2; - 2;7)$, $\overrightarrow {AM} \left( {t - 1;t - 1;t + 5} \right)$

$A,M,B$ thẳng hàng  $ \Rightarrow \overrightarrow {AM} //\overrightarrow {AB}  \Rightarrow \dfrac{{t - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{t - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{t + 5}}{7} \Leftrightarrow t =  - \dfrac{1}{3} \Rightarrow M\left( {\dfrac{{ - 1}}{3};\dfrac{2}{3}; - \dfrac{1}{3}} \right)$

 Mặt khác, $\overrightarrow {AM} \left( { - \dfrac{4}{3}; - \dfrac{4}{3};\dfrac{{14}}{3}} \right);\,\,\overrightarrow {BM} \left( {\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{{ - 7}}{3}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AM}  =  - 2\overrightarrow {BM}  \Rightarrow $ M nằm giữa A và B, suy ra, trong $\left( \alpha  \right)$, A và B nằm khác phía so với đường thẳng $\Delta $.

Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua B. Khi đó, $\left| {MA - MB} \right| = \left| {MA' - MB} \right| \le A'B$, ${\left| {MA' - MB} \right|_{max}} = A'B$ khi và chỉ khi M là giao điểm của A’B và đường thẳng $\Delta $ (điểm M như trên là tồn tại).

+) Tìm tọa độ điểm A’:

Gọi $\left( \beta  \right)$ là mặt phẳng qua A và vuông góc $\Delta $, khi đó, $\left( \beta  \right)$ nhận $\overrightarrow {{u_\Delta }} (1;1;1)$ là 1 VTPT.

Phương trình mặt phẳng  $\left( \beta  \right)$:

$1.(x - 1) + 1.(y - 2) + 1.(z + 5) = 0 \Leftrightarrow x + y + z + 2 = 0$

$H \in \Delta  \Rightarrow $Gọi $H(m;1 + m;m)$

$H \in \left( \beta  \right) \Rightarrow m + 1 + m + m + 2 = 0 \Leftrightarrow m =  - 1$$ \Rightarrow H( - 1;0; - 1)$

 H là trung điểm của AA’ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_H} = \dfrac{{{x_A} + {x_{A'}}}}{2}\\{y_H} = \dfrac{{{y_A} + {y_{A'}}}}{2}\\{z_H} = \dfrac{{{z_A} + {z_{A'}}}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} =  - 3\\{y_{A'}} =  - 2\\{z_{A'}} = 3\end{array} \right.$

Độ dài đoạn A’B: $A'B = \sqrt {{{( - 1 + 3)}^2} + {{(0 + 2)}^2} + {{(2 - 3)}^2}}  = 3$

Vậy,  ${T_{max}} = 3$