Câu hỏi:
2 năm trước
Trong không gian cho tam giác \(ABC\). Tìm \(M\) sao cho giá trị của biểu thức \(P = M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC \Rightarrow G\) cố định và $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 .$
\(P = {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} } \right)^2}\)
\( = 3M{G^2} + 2\overrightarrow {MG} .\left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\)
\( = 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} \ge G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}.\)
Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow M \equiv G.\)
Vậy \({P_{\min }} = G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\) với \(M \equiv G\) là trọng tâm tam giác \(ABC.\)
Hướng dẫn giải:
Đưa biểu thức \(P\) về biểu thức có chứa véc tơ và sử dụng tính chất các điểm đặc biệt để tìm GTNN của \(P\).
