Câu hỏi:
2 năm trước
Trong hệ trục toạ độ không gian $Oxyz$, cho \(A\left( {1,0,0} \right),\;B\left( {0,b,0} \right),\;C\left( {0,0,c} \right)\), biết $b,c > 0$, phương trình mặt phẳng $\left( P \right):y - z + 1 = 0$ . Tính $M = c + b$ biết \((ABC) \bot (P)\), \(d\left( {O,(ABC)} \right) = \dfrac{1}{3}\)
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: d
Theo giả thiết \((ABC) \bot (P)\) nên ta có \(0.bc + 1.c - 1.b = 0 \Leftrightarrow c - b = 0 \Leftrightarrow b = c\)
Với giả thiết \(d\left( {O,(ABC)} \right) = \dfrac{1}{3}\) ta có \(\dfrac{{| - bc|}}{{\sqrt {{b^2}{c^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \dfrac{1}{3}\)
Vì $b,c > 0$ nên có \(\sqrt {{b^2}{c^2} + {b^2} + {c^2}} = 3bc \Leftrightarrow {b^2}{c^2} + {b^2} + {c^2} = 9{b^2}{c^2} \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} = 8{b^2}{c^2}\)
Thay $b = c > 0$ vào ta được \(2{b^2} = 8{b^4} \Leftrightarrow {b^2} = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow b = \dfrac{1}{2}\), suy ra \(c = \dfrac{1}{2}\)
Vậy $M = b + c = 1$.
Hướng dẫn giải:
Sử dụng phương trình đoạn chắn ta có \((ABC):\dfrac{x}{1} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1\) hay $\left( {ABC} \right):bcx + cy + bz - bc = 0$
