Câu hỏi:
2 năm trước
Trong hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm \(A\left( {1;5;0} \right);\,\,B\left( {3;3;6} \right)\) và đường thẳng \(\left( d \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = 1 - t\\z = 2t\end{array} \right.\). Một điểm M thay đổi trên d. Biết giá trị nhỏ nhất của nửa chu vi tam giác MAB là số có dạng \(\sqrt a + \sqrt b \) với a, b là các số nguyên. Khi đó:
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 2;6} \right)\); \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2; - 1;2} \right)\), d đi qua điểm \(M\left( { - 1;1;0} \right)\)
\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_d}} } \right].\overrightarrow {AM} \ne 0 \Rightarrow AB\) và d chéo nhau.
Ta có \({C_{MAB}} = MA + MB + AB\). Do AB không đổi nên \({C_{MAB\,\,\min }} \Leftrightarrow {\left( {MA + MB} \right)_{\min }}\).
Do AB và d chéo nhau nên \(MA + MB\mathop \ge \limits^{Cauchy} 2\sqrt {MA.MB} \Leftrightarrow {\left( {MA + MB} \right)_{\min }} \Leftrightarrow MA = MB\).
\( \Rightarrow M \in \) mặt phẳng trung trực của AB đi qua trung điểm \(I\left( {2;4;3} \right)\) của AB và nhận \(\left( {1; - 1;3} \right)\) là 1 VTPT.
\( \Rightarrow M \in \left( P \right):\,\,x - y + 3z - 7 = 0\).
\( \Rightarrow M \in \left( d \right) \Rightarrow M\left( { - 1 + 2t;1 - t;2t} \right).\)
Thay vào mặt phẳng (P) \( \Rightarrow - 1 + 2t - 1 + t + 6t - 7 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow M\left( {1;0;2} \right) \Rightarrow MA = MB = \sqrt {29} \)
\(AB = 2\sqrt {11} \Rightarrow {C_{\Delta MAB}} = 2\sqrt {11} + 2\sqrt {29} \Rightarrow {p_{\Delta MAB}} = \sqrt {11} + \sqrt {29} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 11\\b = 29\end{array} \right. \Rightarrow a + b = 40\).
Hướng dẫn giải:
+) Kiểm tra AB và d chéo nhau.
+) \({C_{MAB\,\min }} \Leftrightarrow {\left( {MA + MB} \right)_{\min }} \Leftrightarrow MA = MB\).
