Tính giá trị biểu thức \(P = x\sqrt {\dfrac{{\left( {1 + {y^2}} \right)\left( {1 + {z^2}} \right)}}{{1 + {x^2}}}}  + y\sqrt {\dfrac{{\left( {1 + {z^2}} \right)\left( {1 + {x^2}} \right)}}{{1 + {y^2}}}}  + z\sqrt {\dfrac{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)}}{{1 + {z^2}}}} \) với \(x,y,z > 0\) và \(xy + yz + zx = 1\).

Vì \(xy + yz + zx = 1\) nên  \(1 + {x^2} = {x^2} + xy + yz + zx = (x + y)(x + z)\)

Tương tự đối với \(1 + {y^2} = \left( {y + x} \right)\left( {y + z} \right);1 + {z^2} = \left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right)\)

Từ đó ta có:

+)  \(x\sqrt {\dfrac{{\left( {1 + {y^2}} \right)\left( {1 + {z^2}} \right)}}{{1 + {x^2}}}}  = x\sqrt {\dfrac{{\left( {y + x} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)}}}  = x\left( {y + z} \right)\)

+) \(y\sqrt {\dfrac{{\left( {1 + {z^2}} \right)\left( {1 + {x^2}} \right)}}{{1 + {y^2}}}} \)\( = y\sqrt {\dfrac{{\left( {z + y} \right)\left( {z + x} \right)\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)}}}  = y\left( {x + z} \right)\)

+) \(z\sqrt {\dfrac{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)}}{{1 + {z^2}}}} \)\( = z\sqrt {\dfrac{{\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)\left( {y + x} \right)\left( {y + z} \right)}}{{\left( {z + x} \right)\left( {y + z} \right)}}}  = z\left( {x + y} \right)\)

Suy ra \(P = x\left( {y + z} \right) + y\left( {z + x} \right) + z\left( {x + y} \right) = 2\left( {xy + yz + zx} \right) = 2\). (vì \(xy + yz + zx = 1\)).