Câu hỏi:
2 năm trước
Tính giá trị biểu thức \(P = x\sqrt {\dfrac{{\left( {1 + {y^2}} \right)\left( {1 + {z^2}} \right)}}{{1 + {x^2}}}} + y\sqrt {\dfrac{{\left( {1 + {z^2}} \right)\left( {1 + {x^2}} \right)}}{{1 + {y^2}}}} + z\sqrt {\dfrac{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)}}{{1 + {z^2}}}} \) với \(x,y,z > 0\) và \(xy + yz + zx = 1\).
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Vì \(xy + yz + zx = 1\) nên \(1 + {x^2} = {x^2} + xy + yz + zx = (x + y)(x + z)\)
Tương tự đối với \(1 + {y^2} = \left( {y + x} \right)\left( {y + z} \right);1 + {z^2} = \left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right)\)
Từ đó ta có:
+) \(x\sqrt {\dfrac{{\left( {1 + {y^2}} \right)\left( {1 + {z^2}} \right)}}{{1 + {x^2}}}} = x\sqrt {\dfrac{{\left( {y + x} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)}}} = x\left( {y + z} \right)\)
+) \(y\sqrt {\dfrac{{\left( {1 + {z^2}} \right)\left( {1 + {x^2}} \right)}}{{1 + {y^2}}}} \)\( = y\sqrt {\dfrac{{\left( {z + y} \right)\left( {z + x} \right)\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)}}} = y\left( {x + z} \right)\)
+) \(z\sqrt {\dfrac{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)}}{{1 + {z^2}}}} \)\( = z\sqrt {\dfrac{{\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)\left( {y + x} \right)\left( {y + z} \right)}}{{\left( {z + x} \right)\left( {y + z} \right)}}} = z\left( {x + y} \right)\)
Suy ra \(P = x\left( {y + z} \right) + y\left( {z + x} \right) + z\left( {x + y} \right) = 2\left( {xy + yz + zx} \right) = 2\). (vì \(xy + yz + zx = 1\)).
Hướng dẫn giải:
+ Sử dụng điều kiện \(xy + yz + zx = 1\) để phân tích \(\left( {1 + {x^2}} \right);\left( {1 + {y^2}} \right);\left( {1 + {z^2}} \right)\) thành nhân tử.
+ Thay vào biểu thức $P$ để rút gọn và tính toán.
