Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) sao cho đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x + 1}}{{\sqrt[{}]{{{m^2}{x^2} + m - 1}}}}\) có bốn đường tiệm cận.
Trả lời bởi giáo viên
Với \(m = 0\) thì hàm số không xác định. Do đó \(m \ne 0\) \(\left( 1 \right)\).
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x + 1}}{{\sqrt[{}]{{{m^2}{x^2} + m - 1}}}} = \dfrac{1}{{\left| m \right|}}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{x + 1}}{{\sqrt[{}]{{{m^2}{x^2} + m - 1}}}} = \dfrac{{ - 1}}{{\left| m \right|}}\).
\( \Rightarrow \)đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang.
Để đồ thị hàm số có bốn đường tiệm cận thì cần tìm \(m\) để đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng, nghĩa là cần tìm \(m\) để phương trình \(g\left( x \right) = {m^2}{x^2} + m - 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt khác \( - 1\)
ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta = - 4{m^2}\left( {m - 1} \right) > 0\\g\left( { - 1} \right) = {m^2} + m - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 1\\m \ne 0\\m \ne \dfrac{{ - 1 \pm \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\,\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 1\\m \ne 0\\m \ne \dfrac{{ - 1 \pm \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\,\) \(\left( 2 \right)\)
Kết hợp \(\left( 1 \right)\)\(\left( 2 \right)\)có \(\left\{ \begin{array}{l}m < 1\\m \ne 0\\m \ne \dfrac{{ - 1 \pm \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\,\)
Hướng dẫn giải:
- Tìm các TCN của đồ thị hàm số.
- Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có \(4\) đường tiệm cận đứng.