Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua $A\left( {2;0} \right)$ có hệ số góc \(m\) cắt đồ thị $\left( C \right):y =  - {x^3} + 6{x^2} - 9x + 2$ tại ba điểm phân biệt \(A\), \(B\), \(C\). Gọi \(B'\), \(C'\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(B\), \(C\) lên trục tung. Tìm giá trị dương của \(m\) để hình thang \(BB'C'C\) có diện tích bằng $8.$

Phương trình đường thẳng $d:y = m\left( {x - 2} \right)$

Phương trình hoành độ giao điểm của \(d\) và \(\left( C \right)\) là:

$ - {x^3} + 6{x^2} - 9x + 2 = m\left( {x - 2} \right)$$ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} - 4x + m + 1} \right) = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2 \Rightarrow A\left( {2;0} \right)\\{x^2} - 4x + m + 1 = 0\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.$

Để đồ thị hàm số $\left( C \right)$ cắt \(d\) tại 3 điểm phân biệt thì phương trình \(\left( 1 \right)\) phải có hai nghiệm phân biệt \(x \ne 2\)

ĐK: $\left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\4 - 8 + m + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 - m - 1 > 0\\m - 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 3\\m \ne 3\end{array} \right. \Leftrightarrow m < 3$

Giả sử $B\left( {{x_1};m{x_1} - 2m} \right),$$C\left( {{x_2};m{x_2} - 2m} \right)$ với \({x_1}\) và \({x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right)\)

Theo Viet $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 4\\{x_1}{x_2} = m + 1\end{array} \right.$.

Vì \(m > 0 \Rightarrow {x_1} > 0\) và \({x_2} > 0\). Ta có $B'\left( {0,m{x_1} - 2m} \right),$$C'\left( {0,m{x_2} - 2m} \right)$

Ta có ${S_{BB'C'C}} = \dfrac{1}{2}B'C'\left( {BB' + CC'} \right) = 8 \Leftrightarrow B'C'\left( {BB' + CC'} \right) = 16\,\,\left( * \right)$

Mà $B'C' = \left| {m\left( {{x_1} - {x_2}} \right)} \right|$, $BB' = \left| {{x_1}} \right| = {x_1}$ và $CC' = \left| {{x_2}} \right| = {x_2}$

Do đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow m\left| {{x_1} - {x_2}} \right|\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 16 \Leftrightarrow m\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 4 \Leftrightarrow {m^2}{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = 16\)

$ \Leftrightarrow {m^2}\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \right] = 16$$ \Leftrightarrow {m^2}\left( {16 - 4m - 4} \right) = 16$$ \Leftrightarrow {m^3} - 3{m^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 1\\m = 2\end{array} \right.$

Kết hợp với \(m > 0\) và \(m < 3\) ta có \(m = 2\)