Cho hàm số $y = \dfrac{{a{x^2} + x - 1}}{{4{x^2} + bx + 9}}$ có đồ thị $\left( C \right)$, trong đó $a$, $b$ là các hằng số dương thỏa mãn $a.b = 4$. Biết rằng $\left( C \right)$ có đường tiệm cận ngang $y = c$ và có đúng $1$ đường tiệm cận đứng. Tính tổng $T = 3a + b - 24c$.

Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua $A\left( {2;0} \right)$ có hệ số góc \(m\) cắt đồ thị $\left( C \right):y =  - {x^3} + 6{x^2} - 9x + 2$ tại ba điểm phân biệt \(A\), \(B\), \(C\). Gọi \(B'\), \(C'\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(B\), \(C\) lên trục tung. Tìm giá trị dương của \(m\) để hình thang \(BB'C'C\) có diện tích bằng $8.$

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) sao cho đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x + 1}}{{\sqrt[{}]{{{m^2}{x^2} + m - 1}}}}\) có bốn đường tiệm cận.

Cho hàm số $y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ có đồ thị như hình bên. Đặt $g\left( x \right) = f\left( {\sqrt {{x^2} + x + 2} } \right)$. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\), phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có \(4\) nghiệm thực và đồ thị hàm số \(f'\left( x \right)\) như hình vẽ. Tìm số điểm cực trị của hàm số \(y = f\left( {{x^2}} \right)\).

Cho đường cong \(\left( C \right):y = \dfrac{{2x + 3}}{{x - 1}}\) và \(M\) là một điểm nằm trên \(\left( C \right)\). Giả sử \({d_1}\), \({d_2}\) tương ứng là các khoảng cách từ \(M\) đến hai tiệm cận của \(\left( C \right)\), khi đó \({d_1}.{d_2}\) bằng:

Hai điểm \(M\) ; \(N\) lần lượt thuộc hai nhánh của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{3x - 1}}{{x - 3}}\). Khi đó độ dài đoạn thẳng \(MN\) ngắn nhất bằng: