Hai điểm \(M\) ; \(N\) lần lượt thuộc hai nhánh của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{3x - 1}}{{x - 3}}\). Khi đó độ dài đoạn thẳng \(MN\) ngắn nhất bằng:

Ta có \(y = \dfrac{{3x - 1}}{{x - 3}}\)\( \Rightarrow y = 3 + \dfrac{8}{{x - 3}}\)\( \Rightarrow y - 3 = \dfrac{8}{{x - 3}}\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}X = x - 3\\Y = y - 3\end{array} \right.\). Ta có \(Y = \dfrac{8}{X}\).

Gọi $M\left( {{X_1};\,\,\dfrac{8}{{{X_1}}}} \right)$ thuộc nhánh trái, $N\left( {{X_2};\,\dfrac{8}{{{X_2}}}} \right)$ thuộc nhánh phải của đồ thị hàm số,

 Với ${X_1} < 0 < {X_2}$. Ta có: $M{N^2} = {\left( {{X_2} - {X_1}} \right)^2} + 64{\left( {\dfrac{1}{{{X_2}}} - \dfrac{1}{{{X_1}}}} \right)^2}$

$ \Rightarrow M{N^2} \ge 2\sqrt {{{\left( {{X_2} - {X_1}} \right)}^2}.64{{\left( {\dfrac{1}{{{X_2}}} - \dfrac{1}{{{X_1}}}} \right)}^2}} $$ \Rightarrow M{N^2} \ge 16\left| {\left( {{X_2} - {X_1}} \right)\left( {\dfrac{1}{{{X_2}}} - \dfrac{1}{{{X_1}}}} \right)} \right|$

$ \Rightarrow M{N^2} \ge 16\dfrac{{{{\left( {{X_2} - {X_1}} \right)}^2}}}{{\left| {{X_1}{X_2}} \right|}}$$ \Rightarrow M{N^2} \ge 16\dfrac{{ - 4{X_1}{X_2}}}{{ - {X_1}{X_2}}} = 64$.

Do vậy $MN \ge 8$.

Dấu bằng xảy ra $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{X_2} =  - {X_1}\\{\left( {{X_2} - {X_1}} \right)^2} = 64{\left( {\dfrac{1}{{{X_2}}} - \dfrac{1}{{{X_1}}}} \right)^2}\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{X_1} =  - 2\sqrt 2 \\{X_2} = 2\sqrt 2 \end{array} \right.$

Vậy với $M = \left( { - 2\sqrt 2 ;\,\, - 2\sqrt 2 } \right)$ ; $N = \left( {2\sqrt 2 ;\,\,2\sqrt 2 } \right)$ thì \(MN\) có độ dài ngắn nhất bằng \(8\).

Cách khác: Do $M,N$ thuộc hai nhánh khác nhau nên ta có \(M\left( {3 - \alpha ;3 - \dfrac{8}{\alpha }} \right);N\left( {3 + \beta ;3 + \dfrac{8}{\beta }} \right)\), với \(\alpha ;\beta  > 0\).

Khi đó \(M{N^2} = {\left( {\alpha  + \beta } \right)^2} + {\left( {\dfrac{8}{\alpha } + \dfrac{8}{\beta }} \right)^2}\)\( = {\left( {\alpha  + \beta } \right)^2} + \dfrac{{64{{\left( {\alpha  + \beta } \right)}^2}}}{{{{\left( {\alpha \beta } \right)}^2}}}\)

\( = {\left( {\alpha  + \beta } \right)^2}\left( {1 + \dfrac{{64}}{{{{\left( {\alpha \beta } \right)}^2}}}} \right) \ge 4\alpha \beta \left( {1 + \dfrac{{64}}{{{{\left( {\alpha \beta } \right)}^2}}}} \right)\) \( = 4\left( {\alpha \beta  + \dfrac{{64}}{{\alpha \beta }}} \right) \ge 4.2.8 = 64\).

Vậy \(M{N_{\min }} = 8\) khi \(\left\{ \begin{array}{l}\alpha  = \beta \\\alpha \beta  = \dfrac{{64}}{{\alpha \beta }}\end{array} \right. \Leftrightarrow \alpha  = \beta  = 2\sqrt 2 \)