Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ sao cho tam thức bậc hai $\left( {m - 1} \right){x^2} + \left( {3m - 2} \right)x + 3 - 2m = 0$ đổi dấu hai lần trên \(\mathbb{R}\)?

Yêu cầu bài toán $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = m - 1 \ne 0\\{\Delta _x} = {\left( {3m - 2} \right)^2} - 4\left( {m - 1} \right)\left( {3 - 2m} \right) > 0\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\9{m^2} - 12m + 4 - 4\left( { - 2{m^2} + 5m - 3} \right) > 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\17{m^2} - 32m + 16 > 0\end{array} \right.\,\,\,\left(  *  \right)$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}a = 17 > 0\\{{\Delta '}_m} = {16^2} - 17.16 =  - \,16 < 0\end{array} \right.$ suy ra $17{m^2} - 32m + 16 > 0,{\rm{ }}\forall m \in \mathbb{R}.$

Do đó, hệ bất phương trình $\left(  *  \right) \Leftrightarrow m \ne 1$.