Tìm giá trị nhỏ nhất \(m\) và lớn nhất \(M\) của hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {x + 3}  + \sqrt {6 - x} .\)

Hàm số xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3 \ge 0\\6 - x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 3 \le x \le 6\) nên TXĐ \({\rm{D}} = \left[ { - 3;6} \right].\)

Ta có \({f^2}\left( x \right) = 9 + 2\sqrt {\left( {x + 3} \right)\left( {6 - x} \right)} \).

\( \bullet \) Vì $\sqrt {\left( {3 + x} \right)\left( {6 - x} \right)}  \ge 0,\,\,\forall x \in \left[ { - \,3;6} \right]$ nên suy ra \({f^2}\left( x \right) \geqslant 9 \Rightarrow f\left( x \right) \geqslant 3.\)

Dấu \('' = ''\) xảy ra \( \Leftrightarrow x =  - 3\) hoặc \(x = 6.\) Vậy $m = 3.$

\( \bullet \) Lại có $2\sqrt {\left( {3 + x} \right)\left( {6 - x} \right)}  \le 3 + x + 6 - x = 9$ nên suy ra \({f^2}\left( x \right) \leqslant 18 \Rightarrow f\left( x \right) \leqslant 3\sqrt 2 .\)

Dấu \('' = ''\) xảy ra \( \Leftrightarrow x + 3 = 6 - x \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{2}.\) Vậy $M = 3\sqrt 2 .$

Vậy $m = 3,\,\,\,M = 3\sqrt 2 .$