Câu hỏi:
2 năm trước
Tìm giá trị nhỏ nhất $m$ và lớn nhất $M$ của hàm số \(f\left( x \right) = 2\sqrt {x - 4} + \sqrt {8 - x} .\)
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Hàm số xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}x - 4 \ge 0\\8 - x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 4 \le x \le 8\) nên TXĐ \({\rm{D}} = \left[ {4;8} \right].\)
- Ta có \({f^2}\left( x \right) = 3x - 8 + 4\sqrt {\left( {x - 4} \right)\left( {8 - x} \right)} = 3\left( {x - 4} \right) + 4\sqrt {\left( {x - 4} \right)\left( {8 - x} \right)} + 4.\)
Vì $\left\{ \begin{array}{l}x - 4 \ge 0\\\sqrt {\left( {x - 4} \right)\left( {8 - x} \right)} \ge 0\end{array} \right.,\,\,\forall x \in \left[ {4;8} \right]$ nên suy ra \({f^2}\left( x \right) \geqslant 4 \Rightarrow f\left( x \right) \geqslant 2.\)
Dấu \('' = ''\) xảy ra \( \Leftrightarrow x = 4.\)
Vậy $m = 2.$
- Lại có, áp dụng bất đẳng thức Bunhia – Copxki cho bộ các số \(\left( {2;1} \right),\left( {\sqrt {x - 4} ;\sqrt {8 - x} } \right)\) ta có :
\(f\left( x \right) = 2\sqrt {x - 4} + 1.\sqrt {8 - x} \le \sqrt {\left( {{2^2} + {1^2}} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt {x - 4} } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt {8 - x} } \right)}^2}} \right]} = \sqrt {5.4} = 2\sqrt 5 \)
Dấu xảy ra $ \Leftrightarrow \dfrac{2}{{\sqrt {x - 4} }} = \dfrac{1}{{\sqrt {8 - x} }} \Leftrightarrow x = \dfrac{{36}}{5}$
Vậy $M = 2\sqrt 5 .$
Vậy $m = 2,\,\,\,M = 2\sqrt 5 .$
Hướng dẫn giải:
- Bình phương hai vế của \(f\left( x \right)\) rồi đánh giá GTNN của \({f^2}\left( x \right)\).
- Sử dụng bất đẳng thức $\left| {a.x + b.y} \right| \le \sqrt {({a^2} + {b^2})({x^2} + {y^2})} $ để đánh giá GTLN của \(f\left( x \right)\)
Câu hỏi khác
- Bài tập bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn toán 10 có lời giải
- Bài tập bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn toán 10 có lời giải
- Bài tập bất đẳng thức toán 10 có lời giải
- Bài tập dấu của nhị thức bậc nhất toán 10 có lời giải
- Bài tập đại cương về bất phương trình toán 10 có lời giải
