Tìm giá trị nhỏ nhất $m$ và lớn nhất $M$ của hàm số $f\left( x \right) = 2\sqrt {x - 4}  + \sqrt {8 - x} .$

Hàm số xác định khi $\left\{ \begin{array}{l}x - 4 \ge 0\\8 - x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 4 \le x \le 8$ nên TXĐ ${\rm{D}} = \left[ {4;8} \right].$

- Ta có ${f^2}\left( x \right) = 3x - 8 + 4\sqrt {\left( {x - 4} \right)\left( {8 - x} \right)}  = 3\left( {x - 4} \right) + 4\sqrt {\left( {x - 4} \right)\left( {8 - x} \right)}  + 4.$

Vì $\left\{ \begin{array}{l}x - 4 \ge 0\\\sqrt {\left( {x - 4} \right)\left( {8 - x} \right)}  \ge 0\end{array} \right.,\,\,\forall x \in \left[ {4;8} \right]$ nên suy ra ${f^2}\left( x \right) \geqslant 4 \Rightarrow f\left( x \right) \geqslant 2.$

Dấu $'' = ''$ xảy ra $\Leftrightarrow x = 4.$

Vậy $m = 2.$

- Lại có, áp dụng bất đẳng thức Bunhia – Copxki cho bộ các số $\left( {2;1} \right),\left( {\sqrt {x - 4} ;\sqrt {8 - x} } \right)$ ta có :

 $f\left( x \right) = 2\sqrt {x - 4}  + 1.\sqrt {8 - x}  \le \sqrt {\left( {{2^2} + {1^2}} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt {x - 4} } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt {8 - x} } \right)}^2}} \right]}  = \sqrt {5.4}  = 2\sqrt 5$

Dấu  xảy ra $\Leftrightarrow \dfrac{2}{{\sqrt {x - 4} }} = \dfrac{1}{{\sqrt {8 - x} }} \Leftrightarrow x = \dfrac{{36}}{5}$

Vậy $M = 2\sqrt 5 .$

Vậy $m = 2,\,\,\,M = 2\sqrt 5 .$