Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = \sqrt {x - 2} + \sqrt {4 - x} \).

Điều kiện: 

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\4 - x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \le 4\end{array} \right. \Leftrightarrow 2 \le x \le 4\)

\(A = \sqrt {x - 2}  + \sqrt {4 - x} \) có tập xác định \(D = \left[ {2;\,4} \right]\).

Ta có: \({A^2}=(\sqrt {x - 2}  + \sqrt {4 - x})^2\)

\(=x-2+4-x+2\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {4 - x} \right)}  \)

\(= 2 + 2\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {4 - x} \right)}  \ge 2 \)

(Do $\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {4 - x} \right)} \ge 0 \forall 2 \le x \le 4$)

\(\Rightarrow A \ge \sqrt 2 \), dấu bằng xảy ra khi $\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {4 - x} \right)} = 0$

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\4 - x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 4\end{array} \right.\)

$\Leftrightarrow$ \(x = 2\) hoặc \(x = 4\).