Câu hỏi:
2 năm trước
Tích phân $I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{6}} {\dfrac{{\sin 2x}}{{{{\left( {2 + \sin x} \right)}^2}}}dx} = \dfrac{a}{5} + b\ln \dfrac{5}{4}.$ Giá trị của \(T = a + b\) là:
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
$I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{6}} {\dfrac{{\sin 2x}}{{{{\left( {2 + \sin x} \right)}^2}}}dx} = 2\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{6}} {\dfrac{{\sin x\cos x}}{{{{\left( {2 + \sin x} \right)}^2}}}dx} $
Đặt \(t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx\), đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = \dfrac{\pi }{6} \Rightarrow t = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = 2\int\limits_0^{\dfrac{1}{2}} {\dfrac{{tdt}}{{{{\left( {2 + t} \right)}^2}}}} = 2\int\limits_0^{\dfrac{1}{2}} {\dfrac{{t + 2 - 2}}{{{{\left( {t + 2} \right)}^2}}}dt = 2\int\limits_0^{\dfrac{1}{2}} {\left( {\dfrac{1}{{t + 2}} - \dfrac{2}{{{{\left( {t + 2} \right)}^2}}}} \right)dt} } \\ = 2\left. {\left( {\ln \left( {t + 2} \right) + \dfrac{2}{{t + 2}}} \right)} \right|_0^{\dfrac{1}{2}} = 2\left( {\ln \dfrac{5}{2} + \dfrac{4}{5} - \ln 2 - 1} \right) = 2\left( {\ln \dfrac{5}{4} - \dfrac{1}{5}} \right) = - \dfrac{2}{5} + 2\ln \dfrac{5}{4}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = 2\end{array} \right. \Rightarrow T = a + b = 0\end{array}\)
Hướng dẫn giải:
Sử dụng công thức nhân đôi \(\sin 2x = 2\sin x\cos x\)
Đặt ẩn phụ \(t = \sin x\)
Câu hỏi khác
- Bài tập nguyên hàm toán 12 có lời giải
- Bài tập tích phân các hàm số cơ bản toán 12 có lời giải
- Bài tập tích phân có lời giải MÔN TOÁN Lớp 12
- Bài tập sử dụng phương pháp đổi biến để tìm nguyên hàm có lời giải MÔN TOÁN Lớp 12
- Bài tập sử dụng phương pháp từng phần để tìm nguyên hàm có lời giải MÔN TOÁN Lớp 12
