Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\), thỏa mãn \(f\left( {2{x^3} + {x^2} + 1} \right) = x + 2\) \(\forall x \in \mathbb{R}\). Tính tích phân \(\int_1^4 f (x)dx\)
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Bước 1: Biểu diễn \(\left( {6{x^2} + 2x} \right)f\left( {2{x^3} + {x^2} + 1} \right)\)
Khi \(x \ge 0\), ta có:
\(f\left( {2{x^3} + {x^2} + 1} \right) = x + 2\)\( \Leftrightarrow \left( {6{x^2} + 2x} \right)f\left( {2{x^3} + {x^2} + 1} \right)\)\( = \left( {6{x^2} + 2x} \right)(x + 2)(*)\)
Bước 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số tính \(\int_1^4 f (x)dx\)
Lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế của \((*)\) ta được
\(\int_0^1 {\left( {6{x^2} + 2x} \right)} f\left( {2{x^3} + {x^2} + 1} \right)dx\)\( = \int_0^1 {\left( {6{x^2} + 2x} \right)\left( {x + 2} \right)dx} \)
\( \Leftrightarrow \int_0^1 f \left( {2{x^3} + {x^2} + 1} \right){\rm{d}}\left( {2{x^3} + {x^2} + 1} \right)\)\( = \dfrac{{49}}{6}\)
Đặt \(t = 2{x^3} + {x^2} + 1\)
Đổi cận:\(x = 0 \Rightarrow t = 1;x = 1 \Rightarrow t = 4\)
\( \Rightarrow \int_1^4 f (t)dt = \dfrac{{49}}{6} \Leftrightarrow \int_1^4 f (x)dx = \dfrac{{49}}{6}\)
Hướng dẫn giải:
Bước 1: Biểu diễn \(\left( {6{x^2} + 2x} \right)f\left( {2{x^3} + {x^2} + 1} \right)\)
Bước 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số tính \(\int_1^4 f (x)dx\)
Câu hỏi khác
- Bài tập nguyên hàm toán 12 có lời giải
- Bài tập tích phân các hàm số cơ bản toán 12 có lời giải
- Bài tập tích phân có lời giải MÔN TOÁN Lớp 12
- Bài tập sử dụng phương pháp đổi biến để tìm nguyên hàm có lời giải MÔN TOÁN Lớp 12
- Bài tập sử dụng phương pháp từng phần để tìm nguyên hàm có lời giải MÔN TOÁN Lớp 12
