Tích các giá trị của \(m\) để phương trình \(\log _2^2x - 3{\log _2}x + {m^2}\) \(-5m + 8 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn điều kiện \({x_1} + {x_2} = 6\) là

Bước 1: Đặt \(t = {\log _2}x\) và biến đổi phương trình bậc hai ẩn t.

Điều kiện: \(x > 0\).

Đặt \(t = {\log _2}x\) \( \Rightarrow x = {2^t}\).

Phương trình \(\log _2^2x - 3{\log _2}x + {m^2} - 5m + 8 = 0\) (1) trở thành \({t^2} - 3t + {m^2} - 5m + 8 = 0(2)\)

Bước 2: Tìm điều kiện để phương trình bậc hai ẩn t có 2 nghiệm phân biệt, từ đó biện luận m.

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \)Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt \({t_1},{t_2}\).

Ta có \(\Delta  = 9 - 4\left( {{m^2} - 5m + 8} \right) > 0(*)\). Khi đó:

+) \({t_1} + {t_2} = 3\).

Ngoài ra, ta có: \(6 = {x_1} + {x_2} = {2^{{t_1}}} + {2^{{t_2}}}\)\( = {2^{{t_1}}} + {2^{3 - {t_1}}} = {2^{{t_1}}} + \dfrac{8}{{{2^{{t_1}}}}}\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{2^{{t_1}}} = 2}\\{{2^{{t_1}}} = 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{t_1} = 1\\{t_1} = 2\end{array} \right.\left( 3 \right)\)

Mà \({t_1} + {t_2} = 3\) nên ta có

\(\left( 3 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{t_1} = 1,{t_2} = 2\\{t_1} = 2,{t_2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow {t_1}.{t_2} = 2\)

\({t_1} \cdot {t_2} = 2 \Leftrightarrow {m^2} - 5m + 8 = 2\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = 3\end{array} \right.\left( {TM} \right)\)

Vậy tích các giá trị của m là 2.3=6.