Tập nghiệm của phương trình \(\sqrt[4]{{x - \sqrt {{x^2} - 1} }} + \sqrt {x + \sqrt {{x^2} - 1} }  = 2\) là

Đặt \(t = \sqrt[4]{{x - \sqrt {{x^2} - 1} }},t > 0\)

\(\sqrt[4]{{x - \sqrt {{x^2} - 1} }} = t\) \( \Rightarrow {t^2} = \sqrt {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \) \( = \sqrt {\dfrac{{\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right)\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right)}}{{x + \sqrt {{x^2} - 1} }}} \) \( = \sqrt {\dfrac{{{x^2} - {x^2} + 1}}{{x + \sqrt {{x^2} - 1} }}} \) \( = \sqrt {\dfrac{1}{{x + \sqrt {{x^2} - 1} }}} \) \( = \dfrac{1}{{\sqrt {x + \sqrt {{x^2} - 1} } }}\) \( \Rightarrow \sqrt {x + \sqrt {{x^2} - 1} }  = \dfrac{1}{{{t^2}}}\)

Ta có pt: \(t + \dfrac{1}{{{t^2}}} = 2\) \( \Leftrightarrow {t^3} - 2{t^2} + 1 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\\t = \dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\)

So sánh với điều kiện $t > 0$ ta tìm được \(t = 1,\)\(t = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\)

Trường hợp 1: \(t = 1:\sqrt[4]{{x - \sqrt {{x^2} - 1} }} = 1\)\( \Leftrightarrow x - \sqrt {{x^2} - 1}  = 1\)

\( \Leftrightarrow x - 1 = \sqrt {{x^2} - 1} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\{x^2} - 2x + 1 = {x^2} - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\)

Trường hợp 2: \(t = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\)\( \Rightarrow \sqrt[4]{{x - \sqrt {{x^2} - 1} }} = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\)

\( \Leftrightarrow x - \sqrt {{x^2} - 1}  = \dfrac{{7 + 3\sqrt 5 }}{2}\)\( \Leftrightarrow x - \dfrac{{7 + 3\sqrt 5 }}{2} = \sqrt {{x^2} - 1} \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \dfrac{{7 + 3\sqrt 5 }}{2}\\{\left( {x - \dfrac{{7 + 3\sqrt 5 }}{2}} \right)^2} = {x^2} - 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \dfrac{{7 + 3\sqrt 5 }}{2}\\x = \dfrac{7}{2}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow x \in \emptyset \)

Kết hợp hai trường hợp ta được nghiệm $x=1$.