Tập nghiệm của phương trình $\sqrt[4]{{x - \sqrt {{x^2} - 1} }} + \sqrt {x + \sqrt {{x^2} - 1} }  = 2$ là

Đặt $t = \sqrt[4]{{x - \sqrt {{x^2} - 1} }},t > 0$

$\sqrt[4]{{x - \sqrt {{x^2} - 1} }} = t$ $\Rightarrow {t^2} = \sqrt {x - \sqrt {{x^2} - 1} }$ $= \sqrt {\dfrac{{\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right)\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right)}}{{x + \sqrt {{x^2} - 1} }}}$ $= \sqrt {\dfrac{{{x^2} - {x^2} + 1}}{{x + \sqrt {{x^2} - 1} }}}$ $= \sqrt {\dfrac{1}{{x + \sqrt {{x^2} - 1} }}}$ $= \dfrac{1}{{\sqrt {x + \sqrt {{x^2} - 1} } }}$ $\Rightarrow \sqrt {x + \sqrt {{x^2} - 1} }  = \dfrac{1}{{{t^2}}}$

Ta có pt: $t + \dfrac{1}{{{t^2}}} = 2$ $\Leftrightarrow {t^3} - 2{t^2} + 1 = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\\t = \dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.$

So sánh với điều kiện $t > 0$ ta tìm được $t = 1,$$t = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}$

Trường hợp 1: $t = 1:\sqrt[4]{{x - \sqrt {{x^2} - 1} }} = 1$$\Leftrightarrow x - \sqrt {{x^2} - 1}  = 1$

$\Leftrightarrow x - 1 = \sqrt {{x^2} - 1}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\{x^2} - 2x + 1 = {x^2} - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1$

Trường hợp 2: $t = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}$$\Rightarrow \sqrt[4]{{x - \sqrt {{x^2} - 1} }} = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}$

$\Leftrightarrow x - \sqrt {{x^2} - 1}  = \dfrac{{7 + 3\sqrt 5 }}{2}$$\Leftrightarrow x - \dfrac{{7 + 3\sqrt 5 }}{2} = \sqrt {{x^2} - 1}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \dfrac{{7 + 3\sqrt 5 }}{2}\\{\left( {x - \dfrac{{7 + 3\sqrt 5 }}{2}} \right)^2} = {x^2} - 1\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \dfrac{{7 + 3\sqrt 5 }}{2}\\x = \dfrac{7}{2}\end{array} \right.$ $\Rightarrow x \in \emptyset$

Kết hợp hai trường hợp ta được nghiệm $x=1$.