Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị của tham số \(m\) sao cho parabol \(\left( P \right)\): \(y = {x^2} - 4x + m\) cắt \(Ox\) tại hai điểm phân biệt \(A\), \(B\) thỏa mãn \(OA = 3OB\). Tính tổng \(T\) các phần tử của $S$.

Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( P \right)$ và $Ox$: \({x^2} - 4x + m = 0\) (1)

Để $\left( P \right)$ cắt $Ox$ tại hai điểm phân biệt thì (1) có hai nghiệm phân biệt ${x_1}$, ${x_2}$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\a \ne 0\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 - m > 0\\1 \ne 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow m < 4$.

Giả sử $A\left( {{x_1};0} \right)$, $B\left( {{x_2};0} \right)$ và ${x_1} + {x_2} = 4$, ${x_1}{x_2} = m$.

Ta có \(OA = 3OB\)\( \Leftrightarrow \left| {{x_1}} \right| = 3\left| {{x_2}} \right|\)$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = 3{x_2}\\{x_1} =  - 3{x_2}\end{array} \right.$.

Trường hợp 1: \({x_1} = 3{x_2}\)$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 3\\{x_2} = 1\end{array} \right.$$ \Rightarrow m = 3$ (thỏa mãn)

Trường hợp 2: \({x_1} =  - 3{x_2}\)$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 6\\{x_2} =  - 2\end{array} \right.$$ \Rightarrow m =  - 12$ (thỏa mãn)

Vậy $S =  - 12 + 3 =  - 9$.