Gọi $S$ là tập hợp các giá trị của tham số $m$ sao cho parabol $\left( P \right)$: $y = {x^2} - 4x + m$ cắt $Ox$ tại hai điểm phân biệt $A$, $B$ thỏa mãn $OA = 3OB$. Tính tổng $T$ các phần tử của $S$.

Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( P \right)$ và $Ox$: ${x^2} - 4x + m = 0$ (1)

Để $\left( P \right)$ cắt $Ox$ tại hai điểm phân biệt thì (1) có hai nghiệm phân biệt ${x_1}$, ${x_2}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\a \ne 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 - m > 0\\1 \ne 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow m < 4$.

Giả sử $A\left( {{x_1};0} \right)$, $B\left( {{x_2};0} \right)$ và ${x_1} + {x_2} = 4$, ${x_1}{x_2} = m$.

Ta có $OA = 3OB$$\Leftrightarrow \left| {{x_1}} \right| = 3\left| {{x_2}} \right|$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = 3{x_2}\\{x_1} =  - 3{x_2}\end{array} \right.$.

Trường hợp 1: ${x_1} = 3{x_2}$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 3\\{x_2} = 1\end{array} \right.$$\Rightarrow m = 3$ (thỏa mãn)

Trường hợp 2: ${x_1} =  - 3{x_2}$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 6\\{x_2} =  - 2\end{array} \right.$$\Rightarrow m =  - 12$ (thỏa mãn)

Vậy $S =  - 12 + 3 =  - 9$.