Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \(2\left( {{x^2} - 2x} \right) + \sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {3 - x} \right)}  - m = 0\) có hai nghiệm phân biệt.

Điều kiện: \( - 1 \le x \le 3.\)

Ta có: \(2\left( {{x^2} - 2x} \right) + \sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {3 - x} \right)}  - m = 0\)\( \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} - 2x} \right) + \sqrt { - {x^2} + 2x + 3}  - m = 0\,\,\,\,\left( * \right)\)

Đặt \(t = \sqrt { - {x^2} + 2x + 3} \,\,\,\,\left( {t \ge 0} \right)\) thay vào phương trình \(\left( * \right)\)  ta được:

\(2\left( {3 - {t^2}} \right) + t - m = 0\)\( \Leftrightarrow  - 2{t^2} + t + 6 = m\) \(\left( {**} \right)\)

Xét \({t^2} =  - {x^2} + 2x + 3\,\,\,\left( {***} \right)\)  ta có BBT:

  \( \Rightarrow \) Với \(x \in \left[ {1;\,\,3} \right]\) ta có: \({t^2} \in \left[ {0;\,\,4} \right]\) \( \Rightarrow t \in \left[ { - 2;\,\,2} \right]\)

Lại có: \(t \ge 0\) \( \Rightarrow t \in \left[ {0;\,\,2} \right]\)

Để phương \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \left( {***} \right)\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow t \in \left[ {0;\,\,2} \right).\)

Đặt \(f\left( t \right) =  - 2{t^2} + t + 6\).

Ta có BBT của hàm số \(y = f\left( t \right)\)

\( \Rightarrow \) Để phương trình \(\left( {**} \right)\) có nghiệm \(t\)  thỏa mãn \(0 \le t < 2\) thì đường thẳng \(y = m\) phải cắt đồ thị hàm số \(f\left( t \right)\)

Dựa vào BBT ta thấy đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) trên \(\left[ {0;\,\,2} \right)\) \( \Leftrightarrow 0 < m \le 6.\)

Vậy với \(m \in \left( {0;6} \right]\) thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.