Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình $2\left( {{x^2} - 2x} \right) + \sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {3 - x} \right)}  - m = 0$ có hai nghiệm phân biệt.

Điều kiện: $- 1 \le x \le 3.$

Ta có: $2\left( {{x^2} - 2x} \right) + \sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {3 - x} \right)}  - m = 0$$\Leftrightarrow 2\left( {{x^2} - 2x} \right) + \sqrt { - {x^2} + 2x + 3}  - m = 0\,\,\,\,\left( * \right)$

Đặt $t = \sqrt { - {x^2} + 2x + 3} \,\,\,\,\left( {t \ge 0} \right)$ thay vào phương trình $\left( * \right)$  ta được:

$2\left( {3 - {t^2}} \right) + t - m = 0$$\Leftrightarrow  - 2{t^2} + t + 6 = m$ $\left( {**} \right)$

Xét ${t^2} =  - {x^2} + 2x + 3\,\,\,\left( {***} \right)$  ta có BBT:

  $\Rightarrow$ Với $x \in \left[ {1;\,\,3} \right]$ ta có: ${t^2} \in \left[ {0;\,\,4} \right]$ $\Rightarrow t \in \left[ { - 2;\,\,2} \right]$

Lại có: $t \ge 0$ $\Rightarrow t \in \left[ {0;\,\,2} \right]$

Để phương $\left( * \right)$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \left( {***} \right)$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow t \in \left[ {0;\,\,2} \right).$

Đặt $f\left( t \right) =  - 2{t^2} + t + 6$.

Ta có BBT của hàm số $y = f\left( t \right)$

$\Rightarrow$ Để phương trình $\left( {**} \right)$ có nghiệm $t$  thỏa mãn $0 \le t < 2$ thì đường thẳng $y = m$ phải cắt đồ thị hàm số $f\left( t \right)$

Dựa vào BBT ta thấy đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị hàm số $y = f\left( t \right)$ trên $\left[ {0;\,\,2} \right)$ $\Leftrightarrow 0 < m \le 6.$

Vậy với $m \in \left( {0;6} \right]$ thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.