Phương trình \(\sqrt {{x^3} - 4{x^2} + 5x - 2}  + x = \sqrt {2 - x} \) có bao nhiêu nghiệm ?

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 4{x^2} + 5x - 2 \ge 0\\2 - x \ge 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 4{x^2} + 4x + x - 2 \ge 0\\x \le 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\left( {{x^2} - 4x + 4} \right) + \left( {x - 2} \right) \ge 0\\x \le 2\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x{\left( {x - 2} \right)^2} + \left( {x - 2} \right) \ge 0\\x \le 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) \ge 0\\x \le 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 2} \right){\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0\\x \le 2\end{array} \right.\end{array}\)

Do \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0\\x \le 2 \Leftrightarrow x - 2 \le 0\end{array} \right. \\\Rightarrow \left( {x - 2} \right){\left( {x - 1} \right)^2} \le 0\)

Mà \(\left( {x - 2} \right){\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow \) dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right){\left( {x - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 1\end{array} \right.\).

Thử lại với \(x = 1\) ta có \(\sqrt 0  + 1 = \sqrt 1 \) (đúng)

Với \(x = 2\) ta có \(\sqrt 0  + 2 = \sqrt 0 \) (vô lí)

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm \(x = 1\).