Tập nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 5x + 4} \right) < 0\\{x^2} - 2x - 15 > 0\end{array} \right.\) là

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 5x + 4} \right) < 0\\{x^2} - 2x - 15 > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x + 4} \right) < 0(1)\\\left( {x + 3} \right)\left( {x - 5} \right) > 0(2)\end{array} \right.\end{array}\)

Đặt \(f\left( x \right) = \left( {x + 4} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)\)

Bảng xét dấu của (1)

Từ bảng biến thiên ta có tập nghiệm của  (1) là \({S_1} = \left( { - \infty ; - 4} \right) \cup \left( { - 1;2} \right)\)

Tập nghiệm của bất phương trình (2) là \({S_2} = \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)\)

Ta biểu diễn các tập nghiệm trên trục số ( phần gạch chéo màu đen là phần bù của \({S_1}\), phần gạch chéo màu xanh là phần bù của \({S_2}\))

Phần không bị gạch chéo là \(S = {S_1} \cap {S_2}\)

Vậy tập nghiệm của hệ là \(S = \left( { - \infty ; - 4} \right)\).