Tập hợp tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \(\sqrt {1 + x}  + \sqrt {1 - x}  + 4\sqrt {1 - {x^2}}  = m\) có nghiệm là

\(\sqrt {1 + x}  + \sqrt {1 - x}  + 4\sqrt {1 - {x^2}}  = m\)\(\left( 1 \right)\)

Điều kiện: \( - 1 \le x \le 1\).

Đặt \(t = \sqrt {1 + x}  + \sqrt {1 - x} \ge 0 \)\( \Rightarrow {t^2} = 2 + 2\sqrt {1 - {x^2}} \)

Do $2\le t^2\le 4$ nên \( t \in \left[ {\sqrt 2 ;\,2} \right]\).

\(\left( 1 \right)\) trở thành \(t + 2\left( {{t^2} - 2} \right) = m\)\( \Leftrightarrow 2{t^2} + t - \left( {4 + m} \right) = 0\) \(\left( 2 \right)\).

Để \(\left( 1 \right)\) có nghiệm thì \(\left( 2 \right)\) có nghiệm \(t \in \left[ {\sqrt 2 ;\,2} \right]\)

Tức là $\left\{ \begin{array}{l}\Delta  = 1 + 4.2\left( {4 + m} \right) = 8m + 33 \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}\sqrt 2  \le \dfrac{{ - 1 - \sqrt {8m + 33} }}{4} \le 2\\\sqrt 2  \le \dfrac{{ - 1 + \sqrt {8m + 33} }}{4} \le 2\end{array} \right.\end{array} \right.$\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge  - \dfrac{{33}}{8}\\4\sqrt 2  + 1 \le \sqrt {8m + 33}  \le 9\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge  - \dfrac{{33}}{8}\\\sqrt 2  \le m \le 6\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \sqrt 2  \le m \le 6\).

Vậy \(m \in \left[ {\sqrt 2 ;\,6} \right]\) thì phương trình đã cho có nghiệm.