Tam thức bậc hai \(\left( {m - 1} \right){x^2} - 2x + m + 1 = 0\) đổi dấu hai lần trên \(\mathbb{R}\) khi

Yêu cầu bài toán $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = m - 1 \ne 0\\{{\Delta '}_x} = {\left( { - \,1} \right)^2} - \left( {m - 1} \right)\left( {m + 1} \right) > 0\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\1 - {m^2} + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\{m^2} < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\ - \,\sqrt 2  < m < \sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \left( { - \,\sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)\backslash \left\{ 1 \right\}.$

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt $ \Leftrightarrow m \in \left( { - \,\sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)\backslash \left\{ 1 \right\}.$