Số nghiệm của phương trình \({\log _3}\left| {{x^2} - x\sqrt 2 } \right| = {\log _5}\left( {{x^2} - x\sqrt 2  + 2} \right)\)

Bước 1:

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x\sqrt 2  + 2 > 0\\{x^2} - x\sqrt 2  \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x \ne \sqrt 2 \end{array} \right.\)

Đặt \({\log _3}\left| {{x^2} - x\sqrt 2 } \right| = {\log _5}\left( {{x^2} - x\sqrt 2  + 2} \right) = t\)

Ta có: \(\left| {{x^2} - x\sqrt 2 } \right| = {3^t},{x^2} - x\sqrt 2  + 2 = {5^t}\)

Bước 2: Xét các trường hợp ${x^2} - x\sqrt 2 >0$ và ${x^2} - x\sqrt 2 <0$

TH1: \({x^2} - x\sqrt 2  = {3^t}\)

Ta có \({3^t} + 2 = {5^t} \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^t} + 2.{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^t} = 1\left( 1 \right)\)

Dễ thấy hàm số \(f\left( t \right) = {\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^t} + 2{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^t}\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

Mà \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( t \right) = f\left( 1 \right)\).

Vậy phương trình (1) nhận nghiệm \(t = 1\) là nghiệm duy nhất

Ta có

\(\begin{array}{l}{x^2} - x\sqrt 2  = {3^1} = 3 \Leftrightarrow {x^2} - x\sqrt 2  - 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{\sqrt 2  + \sqrt {14} }}{2}\left( {tm} \right)\\x = \dfrac{{\sqrt 2  - \sqrt {14} }}{2}\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

TH2: \({x^2} - x\sqrt 2  =  - {3^t}\)

Ta có \( - {3^t} + 2 = {5^t} \Leftrightarrow {5^t} + {3^t} = 2\left( 2 \right)\)

Ta thấy hàm số \(g\left( t \right) = {5^t} + {3^t}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Mà \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow g\left( t \right) = g\left( 0 \right)\)

Suy ra \(t = 0\)\( \Rightarrow {x^2} - x\sqrt 2  + 1 = 0\left( {VN} \right)\)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.