Câu hỏi:
2 năm trước
Phương trình $\sqrt {x + 1} + \sqrt {6x - 14} = {x^2} - 5$ có bao nhiêu nghiệm?
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
Điều kiện: $x \ge \dfrac{7}{3}.$
Nhận xét: Với $x \ge \dfrac{7}{3}$ thì \({x^2} - 5 > 0.\)
Ta có: $\sqrt {x + 1} + \sqrt {6x - 14} = {x^2} - 5 \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} - 2 + \sqrt {6x - 14} - 2 = {x^2} - 9.$
$ \Leftrightarrow \dfrac{{x - 3}}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + \dfrac{{6\left( {x - 3} \right)}}{{\sqrt {6x - 14} + 2}} - \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) = 0.$
$ \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left[ {\dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + \dfrac{6}{{\sqrt {6x - 14} + 2}} - \left( {x + 3} \right)} \right] = 0.$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 = 0\\\dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + \dfrac{6}{{\sqrt {6x - 14} + 2}} - \left( {x + 3} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\,\,\left( {TM} \right)\\\dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + \dfrac{6}{{\sqrt {6x - 14} + 2}} = \left( {x + 3} \right){\rm{ }}\left( * \right)\end{array} \right..$
Ta có: \(\dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} < \dfrac{1}{2};\,\dfrac{6}{{\sqrt {6x - 14} + 2}} < \dfrac{6}{2} \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + \dfrac{6}{{\sqrt {6x - 14} + 2}} < \dfrac{7}{2}\)
Và \(x + 3 \ge \dfrac{7}{3} + 3 \Leftrightarrow x + 3 \ge \dfrac{{16}}{3}\,\,\left( {{\rm{do}}\,x \ge \dfrac{7}{3}} \right)\)
Từ đó: $\left\{ \begin{array}{l}VT\left( * \right) < \dfrac{7}{2}\\VP\left( * \right) \ge \dfrac{{16}}{3}\end{array} \right.{\rm{ }}\left( {\forall x \ge \dfrac{7}{3}} \right) \Rightarrow {\rm{ }}PT\,\left( * \right)$ vô nghiệm.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x = 3.\)
Hướng dẫn giải:
+ Tìm điều kiện
+ Thêm bớt các hệ số tự do vào vế trái để nhóm thành các nhóm thích hợp. Từ đó thực hiện phép nhân liên hợp với mỗi nhóm để đưa về dạng phương trình tích.
+ Giải các phương trình thu được bằng phương pháp đánh giá.
+ So sánh điều kiện và kết luận nghiệm.
