Phương trình $\sqrt {x + 1}  + \sqrt {6x - 14}  = {x^2} - 5$ có bao nhiêu nghiệm?

Điều kiện: $x \ge \dfrac{7}{3}.$

Nhận xét: Với $x \ge \dfrac{7}{3}$ thì \({x^2} - 5 > 0.\)

Ta có: $\sqrt {x + 1}  + \sqrt {6x - 14}  = {x^2} - 5 \Leftrightarrow \sqrt {x + 1}  - 2 + \sqrt {6x - 14}  - 2 = {x^2} - 9.$

$ \Leftrightarrow \dfrac{{x - 3}}{{\sqrt {x + 1}  + 2}} + \dfrac{{6\left( {x - 3} \right)}}{{\sqrt {6x - 14}  + 2}} - \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) = 0.$

$ \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left[ {\dfrac{1}{{\sqrt {x + 1}  + 2}} + \dfrac{6}{{\sqrt {6x - 14}  + 2}} - \left( {x + 3} \right)} \right] = 0.$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 = 0\\\dfrac{1}{{\sqrt {x + 1}  + 2}} + \dfrac{6}{{\sqrt {6x - 14}  + 2}} - \left( {x + 3} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\,\,\left( {TM} \right)\\\dfrac{1}{{\sqrt {x + 1}  + 2}} + \dfrac{6}{{\sqrt {6x - 14}  + 2}} = \left( {x + 3} \right){\rm{    }}\left( * \right)\end{array} \right..$

Ta có: \(\dfrac{1}{{\sqrt {x + 1}  + 2}} < \dfrac{1}{2};\,\dfrac{6}{{\sqrt {6x - 14}  + 2}} < \dfrac{6}{2} \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt {x + 1}  + 2}} + \dfrac{6}{{\sqrt {6x - 14}  + 2}} < \dfrac{7}{2}\)

Và \(x + 3 \ge \dfrac{7}{3} + 3 \Leftrightarrow x + 3 \ge \dfrac{{16}}{3}\,\,\left( {{\rm{do}}\,x \ge \dfrac{7}{3}} \right)\)

Từ đó: $\left\{ \begin{array}{l}VT\left( * \right) < \dfrac{7}{2}\\VP\left( * \right) \ge \dfrac{{16}}{3}\end{array} \right.{\rm{    }}\left( {\forall x \ge \dfrac{7}{3}} \right) \Rightarrow {\rm{ }}PT\,\left( * \right)$  vô nghiệm.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x = 3.\)