Phương trình $\dfrac{{\sin 5x}}{{\sin x}} = 2\cos x$ có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng $\left( {0;\pi } \right)$?

Bước 1:

Điều kiện : $\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi$.

Bước 2:

Khi đó, phương trình $\Leftrightarrow \sin 5x = 2\sin x\cos x \Leftrightarrow \sin 5x = \sin 2x$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5x = 2x + k2\pi \\5x = \pi  - 2x + k2\pi \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = k2\pi \\7x = \pi  + k2\pi \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{k2\pi }}{3}\\x = \dfrac{\pi }{7} + \dfrac{{k2\pi }}{7}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Bước 3:

Nếu $x = \dfrac{{k2\pi }}{3}$ thì $x \in \left( {0;\pi } \right) \Rightarrow 0 < \dfrac{{k2\pi }}{3} < \pi$$\Leftrightarrow 0 < k < \dfrac{3}{2} \Rightarrow k = 1 \Rightarrow x = \dfrac{{2\pi }}{3}\left( {TM} \right)$$\Rightarrow$ Có 1 nghiệm.

Nếu $x = \dfrac{\pi }{7} + \dfrac{{k2\pi }}{7}$ thì $x \in \left( {0;\pi } \right) \Rightarrow 0 < \dfrac{\pi }{7} + \dfrac{{k2\pi }}{7} < \pi$$\Leftrightarrow 0 < \pi  + k2\pi  < 7\pi  \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{2} < k < 3$

$\Rightarrow k \in \left\{ {0;1;2} \right\} \Rightarrow x \in \left\{ {\dfrac{\pi }{7};\dfrac{{3\pi }}{7};\dfrac{{5\pi }}{7}} \right\}$$\Rightarrow$ Có 3 nghiệm.

Bước 4:

Vậy phương trình đã cho có $4$ nghiệm trong khoảng $\left( {0;\pi } \right)$.