Phương trình \(\dfrac{{\sin 5x}}{{\sin x}} = 2\cos x\) có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\)?

Bước 1:

Điều kiện : \(\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi \).

Bước 2:

Khi đó, phương trình \( \Leftrightarrow \sin 5x = 2\sin x\cos x \Leftrightarrow \sin 5x = \sin 2x\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5x = 2x + k2\pi \\5x = \pi  - 2x + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = k2\pi \\7x = \pi  + k2\pi \end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{k2\pi }}{3}\\x = \dfrac{\pi }{7} + \dfrac{{k2\pi }}{7}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Bước 3:

Nếu \(x = \dfrac{{k2\pi }}{3}\) thì \(x \in \left( {0;\pi } \right) \Rightarrow 0 < \dfrac{{k2\pi }}{3} < \pi \)\( \Leftrightarrow 0 < k < \dfrac{3}{2} \Rightarrow k = 1 \Rightarrow x = \dfrac{{2\pi }}{3}\left( {TM} \right)\)\( \Rightarrow \) Có 1 nghiệm.

Nếu \(x = \dfrac{\pi }{7} + \dfrac{{k2\pi }}{7}\) thì \(x \in \left( {0;\pi } \right) \Rightarrow 0 < \dfrac{\pi }{7} + \dfrac{{k2\pi }}{7} < \pi \)\( \Leftrightarrow 0 < \pi  + k2\pi  < 7\pi  \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{2} < k < 3\)

\( \Rightarrow k \in \left\{ {0;1;2} \right\} \Rightarrow x \in \left\{ {\dfrac{\pi }{7};\dfrac{{3\pi }}{7};\dfrac{{5\pi }}{7}} \right\}\)\( \Rightarrow \) Có 3 nghiệm.

Bước 4:

Vậy phương trình đã cho có \(4\) nghiệm trong khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\).