Câu hỏi:
2 năm trước
Phương trình \({\sin ^2}x + \sqrt 3 \sin x\cos x = 1\)có bao nhiêu nghiệm thuộc \(\left[ {0;2\pi } \right]?\)
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: d
Ta có : \({\sin ^2}x + \sqrt 3 \sin x\cos x = 1\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{1 - \cos 2x}}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x = 1\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x - \dfrac{1}{2}\cos 2x = \dfrac{1}{2} \\\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\cos 2x - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \cos \dfrac{\pi }{3}.\cos 2x - \sin \dfrac{\pi }{3}\sin 2x = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = \cos \dfrac{\pi }{3} \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\2x + \dfrac{\pi }{3} = - \dfrac{\pi }{3} + m2\pi \end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = - \dfrac{\pi }{3} + m\pi \end{array} \right.\left( {k,\,m \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Vì \(x \in \left[ {0;2\pi } \right]\) nên ta có
+ \(0 \le k\pi \le 2\pi \Leftrightarrow 0 \le k \le 2 \)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 0 \Rightarrow x = 0\\k = 1 \Rightarrow x = \pi \\k = 2 \Rightarrow x = 2\pi \end{array} \right.\)
+ \(0 \le - \dfrac{\pi }{3} + m2\pi \le 2\pi \)\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{6} \le m \le \dfrac{7}{6} \Leftrightarrow m = 1 \Rightarrow x = \dfrac{{2\pi }}{3}.\)
Vậy có bốn nghiệm thuộc \(\left[ {0;2\pi } \right]\)
Hướng dẫn giải:
Ta sử dụng các công thức : \({\sin ^2}x = \dfrac{{1 - \cos 2x}}{2};\,\,\sin 2x = 2\sin x\cos x;\,\,\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\,\sin b.\)
Đưa phương trình đã cho về phương trình bậc nhất giữa sin và cos \(A\cos X + B\sin X = C\,\left( {{A^2} + {B^2} \ge C} \right)\) , chia cả hai vế cho \(\sqrt {{A^2} + {B^2}} \) để ta đưa về dạng phương trình lượng giác cơ bản.
