Phương trình $\left( {{m^2} - 4} \right){x^2} + 2\left( {m - 2} \right)x + 3 = 0$ vô nghiệm khi và chỉ khi

Xét phương trình $\left( {{m^2} - 4} \right){x^2} + 2\left( {m - 2} \right)x + 3 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left(  *  \right).$

TH1. Với ${m^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m =  - \,2\end{array} \right..$

$ \bullet $ Khi $m = 2 \Rightarrow \left(  *  \right) \Leftrightarrow 3 = 0$ (vô lý).

$ \bullet $ Khi $m =  - \,2 \Rightarrow \left(  *  \right) \Leftrightarrow  - \,8x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{8}.$

Suy ra với $m = 2$ thỏa mãn yêu cầu của bài toán.

TH2. Với ${m^2} - 4 \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\m \ne  - \,2\end{array} \right.,$ khi đó để phương trình $\left(  *  \right)$ vô nghiệm $ \Leftrightarrow $$\Delta ' < 0$

$ \Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^2} - 3\left( {{m^2} - 4} \right) < 0$ $ \Leftrightarrow {m^2} - 4m + 4 - 3{m^2} + 12 < 0$ $ \Leftrightarrow  - 2{m^2} - 4m + 16 < 0$

$ \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 8 > 0$$ \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)\left( {m + 4} \right) > 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 2\\m <  - \,4\end{array} \right.$.

Suy ra với $\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m <  - \,4\end{array} \right.$ thỏa mãn yêu cầu của bài toán.

Kết hợp hai TH, ta được $\left[ \begin{array}{l}m \ge 2\\m <  - 4\end{array} \right.$ là giá trị cần tìm.