Phương trình \( - 2{\cos ^2}x - 5\sin x + 4 = 0\) có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;\dfrac{{9\pi }}{2}} \right]?\)

Bước 1: Giải phương trình. Sử dụng công thức \({\cos ^2}x = 1 - {\sin ^2}x\)

Phương trình \( - 2{\cos ^2}x - 5\sin x + 4 = 0\)

\( \Leftrightarrow  - 2\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) - 5\sin x + 4 = 0\)

\( \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x - 5\sin x + 2 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sin x = 2}\\{\sin x = \dfrac{1}{2}}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi }\\{x = \dfrac{{5\pi }}{6} + l2\pi }\end{array}(k,l \in \mathbb{Z})} \right.\)

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sin x = 2}\\{\sin x = \dfrac{1}{2}}\end{array} \Rightarrow \sin x = \dfrac{1}{2} = \sin \dfrac{\pi }{6}} \right.\)

Bước 2: Tìm nghiệm \(x \in \left[ {0;\dfrac{{9\pi }}{2}} \right]\)

Vì \(x \in \left[ {0;\dfrac{{9\pi }}{2}} \right]\) nên \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 \le \dfrac{\pi }{6} + k2\pi  \le \dfrac{{9\pi }}{2}}\\{0 \le \dfrac{{5\pi }}{6} + l2\pi  \le \dfrac{{9\pi }}{2}}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \dfrac{1}{6} \le 2k \le \dfrac{9}{2} - \dfrac{1}{6}}\\{ - \dfrac{5}{6} \le 2l \le \dfrac{9}{2} - \dfrac{5}{6}}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \dfrac{1}{{12}} \le k \le \dfrac{{13}}{6}}\\{ - \dfrac{5}{{12}} \le l \le \dfrac{{11}}{6}}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{k \in \{ 0,1,2\} }\\{l \in \{ 0,1\} }\end{array}} \right.\).

=> Có 5 giá trị thỏa mãn.

Vậy phương trình có 5 nghiệm.