Phương trình \(2\left( {1 - x} \right)\sqrt {{x^2} + 2x - 1}  = {x^2} - 2x - 1\) có bao nhiêu nghiệm?

Điều kiện \({x^2} + 2x - 1 \ge 0\). Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 2x - 1}  \ge 0.\)

Phương trình trở thành \(\left( {{x^2} + 2x - 1} \right) + 2\left( {x - 1} \right)\sqrt {{x^2} + 2x - 1} - 4x = 0\)\(\Leftrightarrow {t^2} + 2\left( {x - 1} \right)t - 4x = 0\) \(\Leftrightarrow {t^2} + 2x.t - 2t - 4x = 0\)\( \Leftrightarrow t\left( {t + 2x} \right) - 2\left( {t + 2x} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {t - 2} \right)\left( {t + 2x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\\t =  - 2x\end{array} \right.\)

Với \(t = 2,\) ta có \(\sqrt {{x^2} + 2x - 1}  = 2 \)\(\Leftrightarrow {x^2} + 2x - 5 = 0 \)\( \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} - 6 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} = 6\)\(\Leftrightarrow x =  - 1 \pm \sqrt 6 \) (nhận)

Với \(t =  - 2x,\) ta có \(\sqrt {{x^2} + 2x - 1}  =  - 2x \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 0\\3{x^2} - 2x + 1 = 0\end{array} \right.\)\(\left\{ \begin{array}{l}
x \le 0\\
3\left( {x - \dfrac{1}{3}} \right)^2 + \dfrac{2}{3} = 0
\end{array} \right.\) vô nghiệm.

Vậy phương trình có nghiệm \(x =  - 1 \pm \sqrt 6 \).