Nghiệm âm lớn nhất của phương trình $\sin x + \cos x = 1 - \dfrac{1}{2}\sin 2x$ là

Bước 1:

Ta có : $\sin x + \cos x = 1 - \dfrac{1}{2}\sin 2x$$\Leftrightarrow \sin x + \cos x = 1 - \sin x\cos x$

Bước 2:

Đặt $\sin x + \cos x = t\,\,\,\left( { - \sqrt 2  \le t \le \sqrt 2 } \right)$

$\Rightarrow (\sin x + \cos x )^2=t^2$ $\Leftrightarrow \sin^2 x + \cos^2 x +2\sin x.\cos x=t^2$

$\Leftrightarrow 1 +2\sin x.\cos x=t^2$$\Rightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}$

Khi đó phương trình trở thành:

$t = 1 - \dfrac{{{t^2} - 1}}{2} = 0 \Leftrightarrow 2t + {t^2} - 1 - 2 = 0$ $\Leftrightarrow {t^2} + 2t - 3 = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\left( {tm} \right)\\t =  - 3\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow t = 1$

Bước 3:

Suy ra $\sin x + \cos x = 1$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\sin x + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\cos x} \right) = \dfrac{1}{\sqrt 2}\\ \Leftrightarrow  \cos \left( { \dfrac{\pi }{4}} \right).\sin x+ \sin \left( { \dfrac{\pi }{4}} \right).\cos x= \dfrac{1}{\sqrt 2}\\ \Leftrightarrow  \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{1}{\sqrt 2}\end{array}$

Bước 4:

$\Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \sin \dfrac{\pi }{4}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\x + \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Bước 5:

Do $x$ là nghiệm âm lớn nhất nên:

+ TH1: $k2\pi  < 0 \Leftrightarrow k < 0\mathop  \Rightarrow \limits^{k \in \mathbb{Z}} k =  - 1 \Rightarrow x =  - 2\pi$

+ TH2: $\dfrac{\pi }{2} + k2\pi  < 0 \Leftrightarrow k <  - \dfrac{1}{4}\mathop  \Rightarrow \limits^{k \in \mathbb{Z}} k =  - 1$$\Rightarrow x =  - \dfrac{{3\pi }}{2}$.

Trong hai nghiệm $- 2\pi$ và $- \dfrac{{3\pi }}{2}$ thì nghiệm âm lớn nhất là $- \dfrac{{3\pi }}{2}$.