Nghiệm âm lớn nhất của phương trình \(\sin x + \cos x = 1 - \dfrac{1}{2}\sin 2x\) là

Bước 1:

Ta có : \(\sin x + \cos x = 1 - \dfrac{1}{2}\sin 2x\)\( \Leftrightarrow \sin x + \cos x = 1 - \sin x\cos x\)

Bước 2:

Đặt \(\sin x + \cos x = t\,\,\,\left( { - \sqrt 2  \le t \le \sqrt 2 } \right)\)

\( \Rightarrow (\sin x + \cos x )^2=t^2\) \( \Leftrightarrow \sin^2 x + \cos^2 x +2\sin x.\cos x=t^2\)

\( \Leftrightarrow 1 +2\sin x.\cos x=t^2\)\( \Rightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}\)

Khi đó phương trình trở thành:

\(t = 1 - \dfrac{{{t^2} - 1}}{2} = 0 \Leftrightarrow 2t + {t^2} - 1 - 2 = 0\) \( \Leftrightarrow {t^2} + 2t - 3 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\left( {tm} \right)\\t =  - 3\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow t = 1\)

Bước 3:

Suy ra \(\sin x + \cos x = 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\sin x + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\cos x} \right) = \dfrac{1}{\sqrt 2}\\ \Leftrightarrow  \cos \left( { \dfrac{\pi }{4}} \right).\sin x+ \sin \left( { \dfrac{\pi }{4}} \right).\cos x= \dfrac{1}{\sqrt 2}\\ \Leftrightarrow  \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{1}{\sqrt 2}\end{array}\)

Bước 4:

\( \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \sin \dfrac{\pi }{4}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\x + \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Bước 5:

Do \(x\) là nghiệm âm lớn nhất nên:

+ TH1: \(k2\pi  < 0 \Leftrightarrow k < 0\mathop  \Rightarrow \limits^{k \in \mathbb{Z}} k =  - 1 \Rightarrow x =  - 2\pi \)

+ TH2: \(\dfrac{\pi }{2} + k2\pi  < 0 \Leftrightarrow k <  - \dfrac{1}{4}\mathop  \Rightarrow \limits^{k \in \mathbb{Z}} k =  - 1 \)\(\Rightarrow x =  - \dfrac{{3\pi }}{2}\).

Trong hai nghiệm \( - 2\pi \) và \( - \dfrac{{3\pi }}{2}\) thì nghiệm âm lớn nhất là \( - \dfrac{{3\pi }}{2}\).