Câu hỏi:
2 năm trước
Một hình trụ có diện tích xung quanh là \(4\pi \), thiết diện qua trục là một hình vuông. Một mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) song song với trục, cắt hình trụ theo thiết diện \(ABB'A'\), biết một cạnh của thiết diện là một dây của đường tròn đáy của hình trụ và căng một cung \({120^0}\). Diện tích của thiết diện \(ABB'A'\) bằng:
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình trụ lần lượt là \(r,\,\,h\).
Theo bài ra ta có: \({S_{xq}} = 4\pi \Leftrightarrow 2\pi rh = 4\pi \Leftrightarrow rh = 2\).
Xét tam giác \(OAB\) có \(OA = OB = r\), \(\angle AOB = {120^0}\).
Áp dụng định lí Côsin rong tam giác ta có:
\(\begin{array}{l}A{B^2} = O{A^2} + O{B^2} - 2.OA.OB.\cos \angle AOB\\A{B^2} = {r^2} + {r^2} - 2{r^2}.\dfrac{{ - 1}}{2}\\A{B^2} = 3{r^2}\\ \Rightarrow AB = r\sqrt 3 \end{array}\)
\( \Rightarrow {S_{ABB'A'}} = AB.BB' = r\sqrt 3 .h = \sqrt 3 rh = 2\sqrt 3 \).
Hướng dẫn giải:
- Diện tích xung quanh của hình trụ có chiều cao \(h\), bán kính đáy \(r\) là \({S_{xq}} = 2\pi rh\), từ đó tính \(rh\).
- Áp dụng định lí Côsin trong tam giác tính dây căng cung \({120^0}\). Từ đó tính diện tích thiết diện \(ABB'A'\).
